Come studiare la convergenza di un integrale improprio

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La guida che presentiamo di seguito è rivolta ai ragazzi delle scuole superiori ma anche a chi frequenta il primo anno di università in quanto l'argomento che si andrà a trattare sono gli integrali impropri. Le conoscenze richieste sono minime dal momento che è necessario saper risolvere gli integrali di Riemann, conoscere le funzioni in modo generico e padroneggiare correttamente le abilità di calcolo infinitesimale cioè i limiti (destri e sinistri); tutti argomenti ampiamente trattati già nella scuola superiore.
La sintassi utilizzata sarà quindi di tipo matematico dove il simbolo ^ rappresenta il pedice , lim rappresenta il limite, int l'integrale ed infine _ rappresenta il pedice. Quindi una scrittura del tipo int_0 ^3 x^2 si legge 'l'integrale tra 0 e 3 di x al quadrato', mentre lim_(x -> 0) x si legge 'il limite per x che tende a 0 di x'. Vediamo quindi, passo passo, come studiare la convergenza di un integrale improprio.

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Occorrente

  • Conosenze di base in ambito matematico
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La formula indicata nell'immagine allegata al presente passo rappresenta l'integrale tra a e b della funzione f (x). È una scrittura nota a molte persone che si avvicinano per la prima volta allo studio degli integrali; f (x) è una funzione cioè una formula dipendente da x come ad esempio f (x)=cos (x)+e^x+1.
La definizione Sia f (x) una funzione definita nell'intervallo (a, b) tale che esista, per ogni c appartenente all'intervallo, l'integrale F (x) nella formula (2).
Si supponga inoltre che il limite rappresentato in figura 3) esista e sia finito. Allora diremo che f (x) è integrabile in senso improprio nell'intervallo (a, b) e lo definiremo tramite la formula nr. 3.
Se, inoltre, il punto critico si trova al centro dell'intervallo possiamo utilizzare la nota proprietà dissociativa degli integrali che ci permette di dividere un integrale nella somma di due integrali come osservato nella quinta formula.

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Inutile dire che la definizione precedente si applica anche al caso in cui il punto critico sia un infinito quindi anche nel caso in cui l'intervallo non sia limitato. Possiamo fare un esempio considerando l'integrale (6) in figura. Il risultato dipende dal valore che diamo al parametro r. Quando r è diverso da 1 il risultato è (7) in figura altrimenti è il logaritmo di c.
Osservando la soluzione nr. 7 notiamo che essa va distinta in due casi specifici a seconda del valore da dare all'esponente di c in quanto svolgendo il limite si possono avere due risultati a seconda che si abbia rispettivamente r > 1 oppure r <= 1.

Continua la lettura
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La cosa che bisogna capire studiando matematica è che lo studio della convergenza di un integrale significa in prima istanza stabilire l'esistenza di una primitiva per integrali impropri anche se essa è difficile da calcolare esplicitamente.
Ci vengono in aiuto quindi degli importanti teoremi. Il primo è chiamato criterio del confronto.
Teorema Siano f (x) e g (x) due funzioni definite in nell'intervallo [a, +infinito). Supponiamo che esista un numero x_0 per cui valga 0 <= f (x) <= g (x) per ogni x > x_0.
Allora se g (x) è integrabile, nell'intervallo considerato, lo è anche f (x).
Purtroppo questo criterio è applicabile solo per f (x) non negative infatti in questo caso la primitiva F (c) sarà crescente ed esisterà il limite rappresentato in figura (10)

.

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I teoremi che abbiamo incontrato nei punti precedenti riguardavano funzioni dello stesso segno, cioè non negative nell'intervallo considerato, ma come dovremo comportarci nel caso di funzioni con segni alterni resta un quesito assai dibattuto. In tutti questi casi, pertanto, ci viene in aiuto il
Teorema Sia f (x) una funzione definita in [a,+infinito); se la funzione |f (x)| è integrabile nell'intervallo considerato allora lo è anche la funzione f (x) e vale la disequazione (13) in figura
da cui discende immediatamente l'analogo del corollario precedente esteso alle funzioni a segno alterno.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Non dimenticate che i teoremi per i segni alterni sono una condizione sufficiente, ma non necessaria. Ovvero f(x) può essere integrabile mentre |f(x)| non lo è !

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