Come studiare il carattere di una serie numerica

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Molto spesso durante i nostri studi, siano essi scolastici o universitari, possiamo fare i conti con delle tematiche, degli argomenti e delle materie che possono crearci moltissimi grattacapi. Purtroppo non comprendere appieno un determinato argomento può compromettere o minare la comprensione complessiva di una intera materia. Per cui è fondamentale non trascurare alcuna tematica, per non restare troppo indietro. In questa guida focalizzeremo la nostra attenzione su uno specifico argomento di una determinata materia, ovvero la matematica. Vedremo per l'appunto come poter studiare in maniera efficace e al meglio il carattere di una serie numerica attraverso una serie di semplici passaggi.

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In matematica, una seria è la somma di elementi che si trovano in successione; la si potrebbe definire una sorta di addizione amplificata. Il suo carattere si determina studiando se essa sia convergente o divergente; vale a dire, se tende o no ad infinito. In generale, per studiare il carattere di una serie numerica può essere utile determinare il suo termine generale. Per farlo, ovvero per verificare se il termine generale della serie è una successione infinitesima, si deve appurare che il limite per n, che tende ad infinito, sia uguale a zero. Se non lo è, la serie non converge. Questo principio è detto criterio di convergenza di Cauchy.

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Dopo aver verificato il termine generale della serie, un altro aspetto importante da definire consiste nello stabilire se la serie si componga o no di termini positivi. A tale scopo sono applicabili tre differenti criteri, detti criterio del rapporto, criterio della radice o criterio del confronto. La scelta tra queste tre opzioni non va fatta arbitrariamente, ma in modo opportuno e ponderato, basandosi sulla natura del termine generale.

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Una volta appurato che la serie è a termini positivi, si deve controllare un ulteriore aspetto, ovvero se si tratta di una serie a segni alterni. In questo caso si può applicare il criterio di Leibniz. Secondo tale criterio, se una serie di termini positivi è decrescente e infinitesima, allora converge. Se invece la serie non è a termini positivi, se ne deve studiare la convergenza assoluta; poiché, se la serie è assolutamente convergente, allora è anche convergente. Tale convergenza è detta ordinaria o semplice; se a convergenza assoluta non corrisponde convergenza ordinaria, si parla di serie condizionatamente convergente. Vi auguro quindi buono studio e buon lavoro.

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