Come stabilire il rango di una matrice

Tutti gli studenti si sono trovati a far i conti con l'algebra, durante la propria carriera scolastica. Tra gli argomenti più critici che possono mettere in imbarazzo ed anche in difficoltà seria gli studenti maggiormente preparati, ci sono le matrici. In questo articolo vi indicheremo come fare per stabilire il rango di una matrice. Essa è una delle molte operazioni che si svolgono sulle matrici, però essenziale per portarne avanti lo studio. Questo articolo ha una propedeuticità, cioè quello che è richiesto è la capacita di saper calcolare il determinante della stessa, fondamentale elemento per poter continuare nell'operazione stabilendone il rango. Per farvi meglio comprendere come è il funzionamento del procedimento che vi andremo a mostrare: vi andremo a presentare in seguito due esempi basilari: quello di una mantice 3x3, e quello di una matrice 3x4. Buona lettura e buono studio!

• carta e penna

Più precisamente vi andremo a spiegare come riuscire a stabilire il rango, sia se avete una matrice di forma rettangolare, sia in caso di matrice quadrata. Il rango forma il massimo numero di righe oppure di colonne linearmente indipendenti all'interno di una matrice. Essa potrà perciò essere al massimo pari al minore tra "r" e "c", (che saranno il numero di righe indicato con "r", e quello di colonne, indicato con "c").
Se il determinante di una matrice quadrata M 3x3 è diverso da 0, questo significa che c'è indipendenza lineare nella matrice, perciò rg M =3. Se il determinante invece è diverso da 0, sicuramente rg M<3. Proseguiamo nella spiegazione.

Stabilire il rango non è un'operazione difficile, e per arrivare a questo basterà prendere una matrice 2x2, internamente della nostra matrice "M", che abbia determinante diverso da 0, stabilendo in questo modo che rg M=2.

Sostanzialmente, il rango corrisponde all'ordine massimo della matrice, dove il determinante dovrà essere diverso da 0.
Se tra tutte le combinazioni possibili di matrici minori 2x2, non c'è n'è nemmeno una con determinante diverso da 0, ciò significa che rg M=1 (che è il minimo valore che il rango di una matrice qualsiasi potrà assumere).

Quando si ha a che fare con matrici non quadrate, il lavoro diventa un po' difficoltoso, in quanto in tal caso ad esempio di una matrice N 4x3, dovrete prendere tutte le combinazioni possibili di matrici quadrate 3x3 internamente della nostra matrice "N", verificandone che almeno uno dei loro determinanti sia diverso da 0, stabilendo infine se il rg N=3. Potrete usare altrimenti il teorema degli orlati, che permette di ridurre di tanto i calcoli e la complessità dell'esercizio.

Sarà sufficiente trovare internamente la matrice "N" una matrice 2x2, (prendendo anche due elementi sulla prima riga e due sull'ultima, ad esempio, basta che si trovino sulle stesse colonne oppure viceversa, con "det" diverso da 0. In seguito, dovrete trovare gli orlati, cioè le due matrici 3x3 che fanno da "contorno " alla matrice 2x2 (se si prendono le prime due righe e due colonne di N, il primo orlato sarà formato dalla 2x2 con l'aggiunta dell'ultima riga e della terza colonna, mentre il secondo orlato avrà la matrice 2x2, come l'ultima riga e della quarta colonna). Se una dei due orlati avrà determinante diverso da 0, ciò vuol dire che la matrice "N" ha rg 3, altrimenti avrà rg 2. Buon lavoro!

• Teorema di diagonalizzabilità: dimostrazione
• Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione
• Teorema di Laplace: dimostrazione