Come sommare una serie armonica generalizzata

Di: Matteo D.
Tramite: O2O 05/07/2021
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è uno degli argomenti che ha sempre qualcosa di nuovo da far scoprire o da approfondire e che potrebbe portare a nuove teorie o concezioni. Premesso ciò, tra i tanti c'è senza dubbio la serie che ha permesso di fare la somma di un valore infinito di numeri. Col tempo tale definizione è stata applicata a moltissimi campi tra cui l'analisi matematica o la geometria. In riferimento a quanto sin qui premesso, ecco una guida su come sommare una serie armonica generalizzata.

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Occorrente

  • Libro di Analisi matematica 2
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Utilizzare il confronto asintotico

Uno dei criteri che andremo ad utilizzare è quello del confronto asintotico. Esso afferma che prese due serie denominate ciascuna A e B entrambe maggiori o uguali a 0, il cui limite del rapporto è finito e compreso tra 0 e infinito, quando n tende all'infinito possiamo dire quanto segue. Se il limite è 0 e B converge, allora anche A si comporta allo stesso modo. Se invece il limite è infinito e B diverge, allora allo stesso modo funziona anche A. Infine se il limite è compreso tra 0 e infinito e B converge, tale condizione si verificherà soltanto se anche A si comporterà allo stesso modo. Questo concetto viene definito di serie equivalenti.

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Osservare il comportamento della serie

A questo punto dopo aver spiegato il concetto di serie armonica generalizzata, possiamo fare un primo esempio di come si assumono i valori di convergenza del tipo a>1, mentre divergono per quelli di a1 allora tale serie converge e quindi l'area del rettangolo maggiore è finita e di conseguenza è terminata anche la somma degli elementi stessi.

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Parlare del concetto di definizioni

A questo punto per continuare parliamo di definizioni. Una serie armonica generalizzata si presenta nella forma 1/(n^a) (molto simile alla serie del tipo 1/n, convergente a 0 nel caso di n tendente a infinito). Tale esempio assume come valori di convergenza quelli per cui a>1, mentre diverge per valori di a1, allora tale serie converge e quindi l'area del rettangolo maggiore è finita così come la somma dei vari elementi. Il problema nasce tuttavia quando dobbiamo impostare il ragionamento su una serie armonica generalizzata. Per cui, utilizzando vari criteri sulle serie numeriche, otteniamo una seconda forma del tipo:1/(n^a)[(log (n))^b].

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Adottare il criterio di Cauchy

La serie armonica generalizzata è la somma delle varie potenze dei numeri naturali. Questo concetto lo si può descrivere nel seguente modo: un numero positivo ? è definito anche ordine della serie, per cui quando ?=1 allora si può parlare di serie armonica. Detto ciò, è altresì importante aggiungere che per certe analogie simili a quelle appena messe in evidenza, per la serie geometrica il comportamento è noto per ogni singolo valore di ?. A tale proposito va infine aggiunto che il risultato è possibile dimostrarlo in svariati modi, adottando ad esempio il criterio di Cauchy il cui concetto riguarda proprio la serie armonica generalizzata e con la seguente formula: a2n = [1/2(?-1)]n. In tutti gli altri casi la serie stessa tende sempre a convergere, poiché composta da numeri e lettere positive e non può quindi mai risultare indeterminata.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di procedere nella lettura, fare un ripasso sulle serie numeriche e criteri di convergenza
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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