Come sommare una serie armonica generalizzata

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Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è uno di quegli argomenti che cresce ogni giorno. C'è sempre qualcosa di nuovo da scoprire o capitoli da approfondire, che potrebbero portare a nuove teorie o scoperte. Una di queste è senza dubbio la serie, che ha permesso di fare la somma di un valore infinito di numeri. Col tempo tale definizione è stata applicata a moltissimi campi, quali l'analisi matematica o la geometria. Una delle applicazioni fondamentali riguarda il come sommare una serie armonica generalizzata. È proprio di questo di cui andremo a parlare oggi.

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Occorrente

  • Libro di Analisi matematica 2
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Uno dei criteri che andremo ad utilizzare è quello del confronto asintotico. Esso afferma che prese due serie A e B, entrambe maggiori o uguali a 0, il cui limite del rapporto è finito e compreso tra 0 e infinito, quando n tende all'infinito, possiamo dire che: se il limite è 0 e B converge allora converge anche A; se il limite è infinito e B diverge allora diverge anche A; se il limite è compreso tra 0 e infinito allora B converge se e solo se converge anche A (serie equivalenti). Con questo si conclude questa breve guida su come effettuare la somma di serie armoniche divergenti, applicando i classici criteri di convergenza.

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Tale esempio assume come valori di convergenza quelli per cui a>1, mentre diverge per valori di a<=1. Per osservare il comportamento di questa serie, ci si avvale del primo teorema del confronto, che si dimostra cosi: prese due serie A e B, tali che Arettangoli interni di un rettangolo ancora più grande di altezza 1 e base uguale alla somma della serie 1/[2^(a-1)]. Quindi se a>1, allora tale serie converge e quindi l'area del rettangolo maggiore è finita ed è finita anche la somma dei vari elementi della serie.

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Prima di tutto parliamo di definizioni. Una serie armonica generalizzata è una serie che si presenta nella forma 1/(n^a) (molto simile alla serie del tipo 1/n, convergente a 0 nel caso di n tendente a infinito). Tale esempio assume come valori di convergenza quelli per cui a>1, mentre diverge per valori di a<=1. Per osservare il comportamento di questa serie, ci si avvale del primo teorema del confronto, che si dimostra cosi: prese due serie A e B, tali che Arettangoli interni di un rettangolo ancora più grande di altezza 1 e base uguale alla somma della serie 1/[2^(a-1)]. Quindi se a>1, allora tale serie converge e quindi l'area del rettangolo maggiore è finita ed è finita anche la somma dei vari elementi della serie. Il problema nasce quando dobbiamo impostare il ragionamento su una serie armonica generalizzata. Per cui, utilizzando vari criteri sulle serie numeriche, otteniamo una seconda forma generalizzata del tipo 1/(n^a)[(log (n))^b].

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di procedere nella lettura, fare un ripasso sulle serie numeriche e criteri di convergenza

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