Come sommare le radici quadrate

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia che può essere misteriosa e terribile se non se ne carpiscono i segreti sin da subito. A molti non piace, ma solo perché non riescono a coglierne i meccanismi, che in realtà sono molto semplici. Le radici quadrate sono uno degli argomenti più spinosi da affrontare, e ancor peggiori sono le operazioni che si possono fare su questi numeri strani. Prima di farci prendere dal panico, è bene sapere che non sempre le operazioni con le radici avranno un bel risultato, ma in alcuni casi possiamo semplificarci la vita con due conti. Vediamo quindi come si fa a sommare le radici quadrate nei vari casi più o meno fortunati in cui possiamo incappare in un problema.

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Occorrente

  • Calcolatrice
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Radice quadrata

Dato un numero X qualsiasi se ne può definire immediatamente uno Y che è semplicemente dato dalla relazione:

Y=X*X

Questa operazione definisce la così detta elevazione alla seconda potenza. Sia ben chiaro che si tratta di una operazione che nel campo dei reali non è invertibile senza opportune condizioni al contorno che vanno definite all'inizio del problema in maniera univoca per non avere confusione. Definito però X come numero positivo o negativo è possibile ricavarlo a partire da Y tramite l'operazione di estrazione di radice quadrata. Infatti la radice quadrata di un numero non fornisce un risultato univoco, perché X*X è sempre un numero positivo a prescindere dal segno di X. Non sono definite nel campo dei reali le radici quadrate di numeri negativi. Fatte queste premesse necessarie possiamo procedere l'analisi dei vari casi di somme possibili e dei metodi necessari per affrontarle.

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Casi generali

Sommare la radice quadrata di due numeri, in generale non darà un risultato facile da scrivere, perché la stragrande maggioranza dei numeri reali ha radici quadrate che sono numeri irrazionali. Purtroppo se per nostra sfortuna ambedue i due numeri da sommare non sono riconducibili a quadrati perfetti o rapporti di quadrati perfetti, la somma delle loro radici quadrate resterà con le radici. Per esempio √5+√3 non potrà essere scritta in altra maniera e non dovranno essere esplicitati i risultati, pena l'introduzione di errori che vanno gestiti con un metodo apposito di approssimazione. Ricordiamo inoltre che la somma di due radici quadrate salvo casi rarissimi, come √0+√x, con x generico, non sarà mai la radice quadrata della somma dei numeri.

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Casi fortunati

I casi fortunati sono quelli in cui i numeri a sommare sono radici di quadrati perfetti, o di frazioni di quadrati perfetti, nel qual caso le radici si estraggono e la somma è quella che si fa di solito. Per esempio:

√25+√(49/9)=5+(7/3)=21/3

è un caso fortunato.
Per capire se i numeri sotto radice sono o meno quadrati perfetti ci sono due sistemi, uno tradizionale e uno veloce. Il primo è andare a scomporli nei loro sottomultipli e verificare che tutti questi si presentino in coppie o gruppi di coppie. Per esempio:

16=(2*2)*(2*2)

oppure

100=(5*5)*(4*4)

L'altro metodo invece è la verifica diretta che la radice del numero sia razionale tramite una calcolatrice o estraendo a mano la radice se se ne conosce il metodo.

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Casi quasi fortunati

Purtroppo i casi fortunati, come si può intuire sono pochissimi, ma ne esistono altri che sono comunque affrontabili in maniera semplice. Se i due numeri sotto radice sono uno multiplo dell'altro, si può agire con un metodo algebrico piuttosto semplice per mettere in evidenza le parti irrazionali e quelle razionali e fornire un risultato utile ai fini del calcolo. Per esempio:

√75+√15=√(25*3)+√(5*3)=5*√3+√5*√3=(5+√5)*√3

In questo caso, se i numeri sotto radice sono interi o razionali non ci resta che studiarli con le tavole numeriche e vedere quanto siamo stati fortunati.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Imparate ad usare le tavole numeriche prima di affidarvi alla calcolatrice
  • Ricordate che (x+y)^2=(x^2)+(y^2)+2*x*y e che di conseguenza la somma di radici non può essere la radice della somma
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