Come sommare i numeri binari

Tramite: O2O 12/01/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

La numerazione binaria è un sistema numerico posizionale in base 2: questo significa che esso permette di rappresentare dei numeri qualsiasi basandosi esclusivamente su due valori distinti opportunamente distribuiti in una data sequenza. Tali valori base sono "0" e "1". Questo sistema numerico, data la sua natura, può essere associato a dei dispositivi che presentano due possibili stati, come "on" e "off", "acceso" e "spento"; simili dispositivi si ritrovano in ambito elettronico, con riferimento alla componentistica dei personal computer: mediante tali dispositivi è possibile costruire circuiti logici il cui comportamento è basato su una logica binaria, e quindi su una vera e propria aritmetica binaria. Tale aritmetica costituisce la base della scienze Informatiche le cui elaborazioni avvengono sempre su sequenze binarie. Dunque si evince che, non solo i numeri possono essere rappresentati in forma binaria, ma anche le normali operazioni di addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione devono poter ancora esistere nel cosiddetto spazio binario. In questa breve guida ci concentriamo sull'addizione, e quindi vedremo come sommare due numeri binari.

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Cominciamo innanzitutto a mostrare come sia possibile rappresentare due numeri in formato binario. Data una sequenza di valori binari, per calcolare il numero che essa rappresenta dovremo moltiplicare ogni singolo valore della sequenza (bit) per il numero 2 elevato alla potenza del numero che rappresenta la posizione del bit, e poi eseguire la somma di tutti i valori così ricavati. In questo modo si ottiene l'equivalente numerico in base decimale, ovvero in base al sistema numerico che ci hanno insegnato a scuola. Per capire meglio, supponiamo che la sequenza sia la seguente: "101". Avremo "1" in posizione 0, "0" in posizione 1, "1" in posizione 2. Quindi: 1x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 = 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 5. Ovviamente, ne discende che la sequenza formata solamente da un solo "1" corrisponde a 1x2^0 = 1 nel sistema decimale, e "0" corrisponde a 0x2^0 = 0 sempre nel sistema decimale. Compreso quindi tale meccanismo, si può analogamente dimostrare che 111 = 7 e 1000 = 9. Ve lo lascio come esercizio di verifica. Passiamo ora a capire come sia possibile sommare due numeri binari.

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Innanzitutto numeri vanno messi uno sopra l'altro, come una normale addizione nel caso decimale, e sommati uno ad uno in colonna rispettando le seguenti regole: 0+0=0, 0+1=1,1+0=0, 1+1=0 con riporto di 1 verso la colonna di sinistra. Quando si ha il riporto di 1, questo viene aggiunto alla colonna di sinistra, e l'addizione continua seguendo le regole appena illustrate. Per meglio comprendere il meccanismo vediamo un esempio esplicativo.

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Consideriamo le due sequenze binarie 1101 (pari a 13) e 100 (pari a 4). Ovviamente, sappiamo che la somma dovrà essere in base decimale pari a 13 + 4 = 17. Lavoriamo sulle sequenze binarie e vediamo cosa succede. La prima colonna (più a destra) ci porta a sommare 1+0, quindi il primo numero a destra della sequenza somma sarà 1; di seguito avremo 0+0=0: la sequenza somma ora è 01. La terza colonna ci dice che il terzo bit della sequenza somma deve essere 0 con riporto di 1, quindi la sequenza somma ora è 001. La quarta colonna vede nuovamente 1+1=0, quindi la somma diviene ora 0001. Ma rimane ancora un riporto di 1: pertanto la somma finale sarà 10001. A questo punto eseguiamo la conversione decimale come abbiamo visto precedentemente, e otteniamo: 1x2^4 +0x2^3 +0x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 = 16 + 0 + 0 + 0 + 1 = 17, valore esattamente identico a quello ricavato nel sistema di numerazione decimale.

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