Come si studia la crescenza di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica rappresenta senza dubbio una delle materie più complesse che ci siano. Non tutti infatti riescono ad imparare correttamente tutte le formule e le regole di cui essa è caratterizzata. Nella seguente guida in particolare verrà dunque spiegato come si studia la crescenza di una funzione.

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Occorrente

  • Conoscenze di base sulle funzioni
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Calcolare la derivata

Il primo passaggio da compiere consiste nel calcolare la derivata della prima funzione. In questo caso bisogna solamente ricordarsi le regole fondamentali di derivazione. Bisogna ricordare poi che geometricamente la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente la funzione. Tale definizione si rivelerà utile per comprendere meglio il comportamento della funzione in determinati punti che si andranno a trovare studiandone nel dettaglio il segno. Successivamente si andrà a determinare il dominio della derivata trovata in precedenza per individuare eventuali punti in cui la funzione sia continua ma non derivabile.

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Studiare la derivata

A questo punto si procede con lo studio del segno della derivata prima. Possiamo quindi individuare i valori di x per cui la funzione è positiva, negativa o nulla. Poniamo dunque la derivata maggiore di zero. In particolare quando f'(x)>0 la funzione è crescente, quando f'(x)<0 la funzione è decrescente. Infine quando f'(x)=0 la funzione ha un punto stazionario. Quest'ultimo è anche detto punto a tangente orizzontale.

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Verificare i punti

Ora che abbiamo individuato gli intervalli di monotonia dovremo verificare che i punti trovati siano di massimo o di minimo. Se la nostra funzione risulta crescente e successivamente decrescente avremo individuato un punto di massimo se, viceversa, la funzione risulta decrescente e successivamente crescente avremo trovato un punto di minimo. Per indicare graficamente tali punti si sostituisce, procedendo un valore alla volta, l'ascissa del punto di massimo oppure di minimo nell'equazione della curva ed in tal modo se ne andrà a ricavare l'ordinata.

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Individuare i casi particolari

Bisogna poi anche fare una distinzione anche dei casi particolari rappresentati dalle funzioni in cui la derivata non cambia segno: nell'eventualità di una funzione consecutivamente crescente avremo un punto stazionario di flesso ascendente mentre nel caso opposto, ovvero di funzione consecutivamente decrescente, avremo un punto stazionario di flesso discendente. In ultimo è necessario ricordare che una funzione può avere punti di massimo o minimo anche in punti in cui non esiste la derivata.

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