Come si disegna la lunula di Ippocrate

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Si dice lunula una superficie piana delimitata da due archi di cerchio di raggio diverso. Ad Ippocrate di Chio, geometra greco vissuto ad Atene attorno al 450-420 a. C, si deve la dimostrazione della quadratura di una particolare lunula cioè della possibilità di disegnare, solo con riga e compasso, un quadrato di area equivalente a quella dell’area curvilinea. In questa guida imparerete a disegnare una curva matematica molto nota: la lunula di Ippocrate. Il nome di tale curva richiama la forma della falce di luna ed è attribuita al matematico Ippocrate (da non confondere con l'omonimo medico). La sua realizzazione può essere effettuata utilizzando semplici strumenti, quali squadrette e compasso. Ecco come.

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Occorrente

  • compasso, squadrette, matita, foglio
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Sia ABC un triangolo rettangolo isoscele inscritto nel semicerchio di centro O e raggio r e sia AEC il semicerchio avente AC come diametro. Assumete 1 cm come misura del lato di scacco della figura e verificate con il calcolo che l'area della lunula è uguale all'area del triangolo rettangolo isoscele. Verificate poi questa uguaglianza indicando con r il raggio della circonferenza di centro O, cateto del triangolo rettangolo isoscele.

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Per prima cosa disegnate un segmento di lato AC con dimensione arbitraria. Dividete in due tale segmento (nella figura in basso il punto medio è indicato con O) e aprite il compasso con raggio pari proprio alla metà di tale segmento. Tracciate quindi una semicirconferenza passante per A e C. Ora, con le squadrette e la matita, tracciate l'asse del segmento AC, cioè tracciate una retta passante per O e perpendicolare ad AC.

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Indicate il punto di intersezione tra tale asse e la semicirconferenza con B. Tracciate ora i segmenti AB e BC aiutandovi con le squadrette. Ora tracciaate, sempre col compasso, un arco di circonferenza che passi per A e per C e che sia interno al triangolo ABC. In questo modo si ottiene la lunula evidenziata in figura. Tale lunula ha la particolarità che la sua area è equivalente all'area del quadrato di lato OA.

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Un altro metodo consiste nel disegnare un quadrato. Circoscrivete un cerchio a tale quadrato (ricordate che l'apertura del compasso deve essere uguale alla metà delle diaginali del quadrato). La circonferenza deve passare, ovviamente, per i quattro spigoli del quadrato. Ora disegnate un semicerchio su ognuno dei qattro lati del quadrato. In questo modo avrete ben quattro lunule e si ha che la somma delle aree di queste quattro lunule è equivalente all'area del quadrato.

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