Come si calcolano la secante e la cosecante di un angolo

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La trigonometria è la parte della matematica che studia il rapporto fra gli angoli ed i lati di un triangolo. Per molti è difficile rapportarsi con un problema di trigonometria, per via delle enormi tabelle di valori e relazioni fra le funzioni. Perdersi in un bicchier d'acqua è facile, ma imparando ad orientarsi si possono ottenere rapidissimi miglioramenti e risultati davvero eccellenti. Le funzioni trigonometriche, infatti, sono tutte legate fra loro da moltissime relazioni, ma non è necessario impararle a memoria tutte quante, ma sapercisi rapportare. In questo tutorial vedremo come si calcolano la secante e la cosecante di un angolo.

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Occorrente

  • Calcolatrice scientifica
  • Carta a quadretti
  • Matita
  • Compasso
  • Righello
  • Gomma
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Secante e cosecante

Vediamo ora di capire cosa sono le funzioni chiamate secante e cosecante. La secante è il reciproco del coseno. La cosecante, invece, il reciproco del seno. Per comprenderle è sufficiente ricordare che per funzione reciproca si intende, data f(x) g(x)=1/f(x) da non confondersi assolutamente con la funzione inversa che solo in rarissimi casi coincide con la reciproca. Ma cosa significa esattamente? Prendiamo la classica circonferenza goniometrica con un generico angolo x. Tracciamo la tangente alla circonferenza nel punto in cui l'angolo interseca la circonferenza stessa. Questa tangente incontra gli assi in due punti. La secante è la distanza dal centro O al punto di intersezione tra il prolungamento del raggio che forma l'angolo e la tangente al cerchio nel punto (1,0). La cosecante è la distanza tra il centro O e il punto di intersezione tra la tangente all'angolo e l'asse delle ordinate.

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Stime alternative

Secante e cosecante, per comodità di concetto, possono essere stimate anche con un altro sistema. Si traccia l'angolo di interesse nella circonferenza unitaria, e si determina il punto di intersezione fra questa e il raggio generatore. In questo punto si traccia la tangente alla circonferenza e si determinano i due punti di intersezione di questa retta con gli assi coordinati. L'intersezione con l'asse x è la secante e si ricava costruendo la circonferenza che ha per raggio la secante vista col metodo precedente e determinandone l'intersezione con l'asse x. Per la cosecante invece si deve necessariamente procedere per via trigonometrica.

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Nota per il calcolo

Vediamo ora come si calcolano. Come detto, secante e cosecante sono il reciproco rispettivamente di coseno e seno. Ciò significa che sec (x)=1/cos (x) e cosec (x)=1/sen (x). Cerchiamo però di capire perché calcoliamo secante e cosecante semplicemente con il reciproco di coseno e seno. Partiamo dalla secante. Dopo aver costruito il disegno, notiamo che la secante, il prolungamento dell'angolo e la tangente alla circonferenza formano un triangolo rettangolo (AOG). Questo triangolo rettangolo è simile al triangolo formato dal raggio della circonferenza, dal seno e dal coseno (COB). Sappiamo per il teorema di Talete che il rapporto tra i lati di angoli simili è uguale. Ovvero, considerata la figura della prima pagina, che OC/OB=OG/OA. Ovvero 1/cos (x)=sec (x)/1. Lo stesso vale per la cosecante.

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Proprietà delle funzioni

Un ultimo breve accenno alle proprietà geometriche delle funzioni secante e cosecante. Entrambe sono funzioni illimitate, periodiche e discontinue. La discontinuità è legata al fatto che seno e coseno hanno dei punti nulli, ed oltretutto, essendoci un cambiamento di segno nelle due funzioni originali, gli asintoti verticali periodici di secante e cosecante hanno segni differenti a destra e sinistra del punto di discontinuità. La funzione della secante è pari, con domino (-?, +?) per x=/=(2k+1) ?/2. Analogamente, la funzione della cosecante è dispari, con dominio (-?, +?) per x=/=k?. Come si può notare disegnandole sono uguali ma sfasate di ?/2, come nel caso delle funzioni di seno e coseno.

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