Come si calcolano la secante e la cosecante di un angolo

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La trigonometria è uno degli argomenti più difficili del programma di matematica nei licei. Sono molti gli studenti che incontrano difficoltà e non riescono a capirne i meccanismi. Cercare di affrontare ogni singolo elemento uno per volta è sicuramente uno dei modi per affrontare meglio un argomento così complesso. In questo tutorial vedremo come si calcolano la secante e la cosecante di un angolo.

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Occorrente

  • calcolatrice scientifica
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Vediamo ora di capire cosa sono la secante e la cosecante. La secante è il reciproco del seno. La cosecante, invece, il reciproco del coseno. Ma cosa significa esattamente? Prendiamo la classica circonferenza goniometrica con un generico angolo x. Tracciamo la tangente alla circonferenza nel punto in cui l'angolo interseca la circonferenza stessa, come in figura. Questa tangente incontra gli assi in due punti. La secante è la distanza dal centro O al punto di intersezione tra la tangente all'angolo e l'asse delle ascisse. La cosecante è la distanza tra il centro O e il punto di intersezione tra la tangente all'angolo e l'asse delle ordinate.

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Per individuare la secante e la cosecante possiamo procedere anche in un altro modo. Consideriamo il prolungamento dell'angolo e le tangenti alla circonferenza passanti per i punti d'incontro tra la circonferenza e gli assi. La secante è la distanza tra il centro O e l'intersezione tra il prolungamento dell'angolo e la tangente alla circonferenza passante per l'asse delle ascisse. La cosecante è la distanza tra il centro O e l'intersezione tra il prolungamento dell'angolo e la tangente alla circonferenza passante per l'asse delle ordinate.

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Vediamo ora come si calcolano. Come detto, secante e cosecante sono il reciproco rispettivamente di coseno e seno. Ciò significa che sec (x)=1/cos (x) e cosec (x)=1/sen (x). Cerchiamo però di capire perché calcoliamo secante e cosecante semplicemente con il reciproco di coseno e seno. Partiamo dalla secante. Osservando la figura della prima pagina vediamo che la secante, il prolungamento dell'angolo e la tangente alla circonferenza formano un triangolo rettangolo (AOG). Questo triangolo rettangolo è simile al triangolo formato dal raggio della circonferenza, dal seno e dal coseno (COB). Sappiamo per il teorema di Talete che il rapporto tra i lati di angoli simili è uguale. Ovvero, considerata la figura della prima pagina, che OC/OB=OG/OA. Ovvero 1/cos (x)=sec (x)/1. Lo stesso vale per la cosecante.

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Un ultimo breve accenno sulle funzioni di secante e cosecante. Entrambe sono funzioni illimitate, periodiche e discontinue. La funzione della secante è pari, con domino (-∞, +∞) per x=/=(2k+1) π/2. Analogamente, la funzione della cosecante è dispari, con dominio (-∞, +∞) per x=/=kπ. La rappresentazione grafica è visibile in questo link per la secante e in questo link per la cosecante. Come si può notare sono uguali ma sfasate di π/2, come nel caso delle funzioni di seno e coseno.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' opportuno avere ben presente i concetti di seno e coseno di un angolo
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