Come si calcolano gli asintoti verticale, orizzontale o obliquo in una funzione razionale fratta

In questa guida forniremo il procedimento risolutivo di un dilemma matematico molto comune. Vedremo infatti come si calcolano gli asintoti verticale, orizzontale o obliquo in una funzione razionale fratta. Seguendo i passi qui descritti dovreste essere in grado di risolvere il problema posto. Prima di iniziare con la procedura, illustriamo la definizione di asintoto. In tal modo faremo chiarezza sull'argomento. Un asintoto dunque è una retta, alla quale una curva che si estende all'infinito si avvicina, ma senza mai toccarla. Ora che ne conosciamo il significato, possiamo iniziare per davvero. Come si procede solitamente in matematica, partiamo da un esempio per illustrare la procedura. Utilizziamo la seguente funzione di esempio: f (x)= x/(x+1).

• Conoscenza della teoria dei limiti

Partiamo cercando gli asintoti verticali della funzione. Per trovare gli eventuali asintoti verticali, bisogna identificare i punti in cui la funzione ha problemi di definizione. Solitamente, questi punti vengono definiti come buchi nel dominio. Dovremo quindi verificare se almeno uno dei due limiti destro e sinistro, nel punto trovato, fa +∞ o -∞. Nel nostro caso il punto critico trovato è -1, poiché la funzione non sarebbe definita per x=-1. Svolgendo il limite destro e sinistro si può notare come il risultato tenda rispettivamente a -∞ e +∞. Diciamo perciò che la funzione ha un asintoto verticale di equazione x= -1.
Prima di proseguire, notiamo un elemento importante. Non è detto che in tutti i punti dove ci sono problemi di definizione vi siano asintoti verticali. In ogni caso bisognerà analizzare la funzione.

Si può adesso passare alla ricerca degli asintoti orizzontali. Una retta y=p si dice asintoto orizzontale di una funzione se il limite della funzione, per x che tende a +∞ o -∞, è uguale a un numero finito p. Prendendo in considerazione di nuovo la nostra funzione sopracitata, il limite è quindi di semplice risoluzione. Si può evincere infatti come sia presente un asintoto orizzontale di equazione y=1. Una volta ottenuti gli asintoti orizzontale e verticale, si può passare a quelli obliqui.

L'ultimo passo consiste nel ricercare la presenza di asintoti obliqui. Si dice che la retta y=mx+q è un asintoto obliquo della funzione f (x) per x che tende a +∞ nel seguente caso. Accade se il limite per x che tende a +∞ della funzione (f (x)-mx-q) è uguale a 0. Le incognite dell'equazione, m e q, si possono calcolare tramite due semplici limiti. La prima la otteniamo infatti dal limite per x che tende a +∞ del rapporto tra f (x) ed x. La seconda la calcoliamo invece dal limite per x che tende a +∞ della differenza tra f (x) e m*x. Ricordiamo con estrema attenzione che la funzione può avere un asintoto obliquo solo se non ammette asintoti orizzontali. La nostra funzione, come dichiarato in precedenza, ha un asintoto orizzontale di equazione y=1 e quindi non può possedere asintoti obliqui. Prendiamo quindi un'altra funzione razionale fratta che può ammettere asintoto obliquo (quindi non deve ammettere asintoti orizzontali). Passiamo perciò, col metodo descritto, a calcolare l'asintoto obliquo. Svolgete l'esercizio di esempio y= x^2/(x-1). Non ci resta che svolgere i due limiti già descritti, per trovare i parametri del nostro asintoto obliquo.

• Cercate di fare molti esercizi soprattutto su funzioni un po' più complesse, dove i limiti non sono di facile risoluzione.