Come si calcola il riparto composto

Leggendo il libro di matematica vi siete trovati davanti al - nuovo per voi - "riparto composto". Un po' spaventati avete iniziato a fare confusione, senza riuscire a concludere nulla.
Se è così, tranquilli, non è difficile come sembra!
Ecco così che vi viene in aiuto questa guida, che vi spiegherà come si calcola il riparto composto (sia diretto che inverso) in modo semplice ed efficace.

Per iniziare, assicuratevi però di aver imparato questi concetti matematici, che saranno fondamentali per capire ciò che sarà spiegato nei prossimi passi.
- calcoli con le frazioni
- proporzioni
- proporzionalità diretta e inversa

Partiremo dal riparto composto diretto.
Per prima cosa: che cos'è esattamente?
Si tratta della scomposizione di una cifra S in più parti, in proporzione diretta a più grandezze.

Per fare un esempio pratico, in un condominio si decide di asfaltare il parcheggio. La spesa totale è di 15650 euro.
Si decide di dividerla tenendo conto del numero di auto di ogni famiglia e dell'area utilizzata.
Alla spesa, ancora incognita, di ogni famiglia assegneremo una lettera dell'alfabeto.

Evans (spesa a) = 2 auto, 20 mq
Williams (spesa b) = 1 auto, 12 mq
Jones (spesa c) = 3 auto, 35 mq
Holmes (spesa d) = 2 auto, 22 mq
Smith (spesa e) = 1 auto, 15 mq
Brown (spesa f) = 2 auto, 25 mq

Calcoliamo ora la spesa per ogni famiglia.

Per procedere col problema, dobbiamo impostare una proporzione

a: (2x20) = b: (1x12) = c: (3x35) = d: (2x22) = e: (1x15) = f: (2x25)

quindi

a : 40 = b : 12 = c: 105 = d : 44 = e : 15 = f : 50


In questa proporzione le spese di ogni famiglia stanno al prodotto tra le auto per famiglia e l'area occupata.
Applicando una proprietà della proporzione la trasformiamo così:

(a+b+c+d+e+f): (40+12+105+44+14+50) = a : 40

Sapendo che la spesa totale, quindi la somma delle spese, è 16650 euro...

16650 : 266 = a : 40

Ottenuta questa proporzione basta trovare l'incognita

a = (16650x40)/266 = 4007,52 euro

Per calcolare la spesa delle altre famiglie basterà semplicemente cambiare il secondo termine della proporzione in questo modo

16650 : 266 = b : 12

b = (16650x12)/266 = 751,13

E così via.
Sperando sia tutto chiaro, nel prossimo passaggio proseguiamo con il riparto composto inverso.

Il riparto composto inverso è simile a quello diretto, solo che questa volta le parti dovranno essere INVERSAMENTE proporzionali a più grandezze.

Per fare un esempio.
Il premio di un'importante gara di informatica è di 30000 euro, da dividere tra i primi tre classificati, in base al numero di errori e al tempo impiegato.
Di conseguenza, in modo inversamente proporzionale a queste due grandezze.

Ecco i primi tre classificati:
Marco = 2 errori, 500 minuti
Francesco = 1 errori, 450 minuti
Lucia = 3 errori, 650 minuti

Procediamo alla risoluzione.

Assegniamo le lettere x, y, z al premio di ogni persona.
Impostiamo quindi la proporzione inversa.

x : 1/2x500 = y : 1/1x450 = z : 1/3x650

quindi

x : 1/1000 = y : 1/450 = z : 1/1950

Come nel riparto diretto, procediamo in questo modo:

(x+y+z): (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = x : 1/1000

Sappiamo che il premio totale è di 30000 euro.

30000: (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = x : 1/1000

Da qui in poi risolvere diventa semplice, basta sapere fare i calcoli con le frazioni ed applicare lo stesso procedimento con ogni vincitore.

Quindi

x = (30000 x 1/1000) / (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = 8032,04


E così per ogni incognita.

Sperando vivamente che sia tutto chiaro, la lezione si conclude qui.