Come si calcola il riparto composto

Leggendo un qualsiasi testo di matematica delle scuole superiori o dell'università, vi sarete di certo trovati di fronte al concetto di "riparto composto". Un po' spaventati, avrete senza dubbio iniziato a chiedervi di cosa si tratti esattamente. Nulla di particolarmente difficile o complesso. Per iniziare, assicuratevi però di aver imparato i seguenti concetti matematici, che saranno fondamentali per capire ciò che sarà spiegato nei prossimi passi: calcoli con le frazioni, proporzioni e proporzionalità diretta, inversa e mista. Elencati in modo esaustivo questi concetti, vediamo ora come si calcola il riparto composto, avvalendoci anche di alcuni esempi pratici che possano illustrare ancora meglio questa importante variabile matematica.

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Per comprendere come calcolare il riparto composto, partiremo, nello specifico, dal riparto composto diretto. Per prima cosa: che cosa è esattamente? Si tratta della scomposizione di una cifra S in più parti, in proporzione diretta a più grandezze. In pratica, in un problema di ripartizione, occorrerà dividere un certo numero, che verrà indicato con la lettera S, in parti direttamente o inversamente proporzionali a uno o più numeri dati, utilizzati come riferimento per la suddivisione. Per meglio spiegare questa importante funzione, avvaliamoci di un esempio di tipo pratico: in un condominio si decide di asfaltare il parcheggio. La spesa totale è di 15.650 euro. Si decide di dividerla tenendo conto del numero di auto di ogni famiglia e dell'area utilizzata. Alla spesa, ancora incognita, di ogni famiglia, assegneremo una lettera dell'alfabeto. E così: Evans (spesa a) = 2 auto, 20 mq. Williams (spesa b) = 1 auto, 12 mq. Jones (spesa c) = 3 auto, 35 mq. Holmes (spesa d) = 2 auto, 22 mq. Smith (spesa e) = 1 auto, 15 mq. Brown (spesa f) = 2 auto, 25 mq. Nel prossimo paragrafo, procederemo dunque al calcolo della spesa per ogni famiglia.

Per procedere con la risoluzione del problema, dobbiamo passare ad impostare una vera e propria proporzione, la quale avrà dunque questi elementi: a: (2x20) = b: (1x12) = c: (3x35) = d: (2x22) = e: (1x15) = f: (2x25). Da ciò ne seguirà che: a : 40 = b : 12 = c: 105 = d : 44 = e : 15 = f : 50. In questa proporzione, come è facile notare, le spese di ogni famiglia stanno al prodotto tra le auto per famiglia e l'area occupata. Applicando una proprietà della proporzione, la trasformiamo così:(a+b+c+d+e+f):(40+12+105+44+14+50) = a : 40. Sapendo che la spesa totale, quindi la somma delle spese, è 16.650 euro, procederemo in questo modo: 16650 : 266 = a : 40. Ottenuta questa proporzione, occorrerà ora trovare l'incognita. Per fare ciò, trasformeremo la proporzione in quest'altro modo: a = (16650x40)/266 = 4007,52 euro. Per calcolare la spesa delle altre famiglie basterà semplicemente cambiare il secondo termine della proporzione in questo modo: 16650 : 266 = b : 12, laddove b = (16650x12)/266 = 751,13. Nel prossimo passaggio proseguiremo con il riparto composto inverso.

Il riparto composto inverso presenta, dal punto di vista matematico, caratteristiche simili a quello diretto. L'unica sostanziale differenza è che, questa volta, le parti dovranno essere "inversamente" proporzionali a più grandezze. Anche in questo caso, avvaliamoci di un esempio per meglio comprendere la proporzione fra le grandezze in esame. E così stabiliamo che il premio di un'importante gara di informatica è di 30.000 euro, da dividere tra i primi tre classificati, in base al numero di errori commessi e al tempo impiegato per la risoluzione delle prove in oggetto (di conseguenza, in modo inversamente proporzionale a queste due grandezze). Ecco dunque alcuni esempi relativi ai risultati dei primi tre classificati: Marco = 2 errori, 500 minuti; Francesco = 1 errore, 450 minuti; Lucia = 3 errori, 650 minuti. Date siffatte premesse, procederemo alla risoluzione del calcolo nel prossimo paragrafo.

Per calcolare il riparto composto inverso, dunque, assegniamo le lettere x, y, z al premio di ogni persona. Impostiamo quindi la proporzione inversa di riferimento: x : 1/2x500 = y : 1/1x450 = z : 1/3x650. Da questo ricaveremo che x : 1/1000 = y : 1/450 = z : 1/1950. Come nel riparto diretto, procediamo in questo modo: (x+y+z): (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = x : 1/1000. Sappiamo che il premio totale è di 30.000 euro, dunque procederemo così: 30000: (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = x : 1/1000. Da qui in poi, risolvere il riparto composto inverso, diventa semplice: basterà saper fare i calcoli con le frazioni ed applicare lo stesso procedimento con ogni vincitore. Quindi: x = (30000 x 1/1000) / (1/1000 + 1/450 + 1/1950) = 8032,04. E così via, per ogni incognita.

Vi abbiamo già accennato in questa nostra guida che i riparti composti si possono definire anche "misti". Questo si verifica quando il numero da dividere viene suddiviso in modo contemporaneo in parti direttamente proporzionali ad una o più grandezze ed inversamente proporzionali ad una o più grandezze. Negli esempi sopra citati, si vedrà dunque che le variabili di x ed y sono direttamente proporzionali al capitale apportato. Va tuttavia precisato che, in altre occasioni e avvalendosi di altri esempi, si potrebbero configurare anche situazioni in cui le parti nelle quali occorre dividere S siano inversamente proporzionali rispetto alle caratteristiche delle grandezze date.

• Prima di studiare il riparto composto, assicuratevi di padroneggiare bene i concetti di grandezze direttamente ed inversamente proporzionali

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