Come si calcola il momento d'inerzia di una trave

Tramite: O2O 26/04/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La fisica e la meccanica sono due materie correlate tra di loro, non facili da capire a primo impatto. Ci vogliono infatti diversi anni di studio e preparazione per poter padroneggiare al meglio queste materie, ma una volta capite possono aprire la mente a moltissime applicazioni pratiche della vita di tutti i giorniTra gli esercizi di fisica, sono molto comuni quelli che includono l'asta e il disco rigido. Alcune operazioni sono sempre fondamentali per svolgere questi quesiti. Tra le altre cose, risulta quindi d'obbligo sapere come si calcola il momento d'inerzia di una trave. Si consiglia di imparare a memoria le due semplici formule in sé, aggiungendole naturalmente alla giusta comprensione. In questa guida spiegheremo in maniera esaustiva e chiara come si calcola il momento d'inerzia di una trave, dando utili suggerimenti per poter capire al meglio.

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Occorrente

  • Formula
  • Sistema di riferimento
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Momento di inerzia di un'asta rigida

Per ricavare il momento di inerzia di un'asta rigida, iniziamo considerando l'asta che ruota attorno un asse di rotazione (quest'ultimo è fisso). Dato perciò l'asse "z", tracciamo l'asse di rotazione "r" e l'asta rigida "a" che ruota attorno all'asse "z" posto all'estremità dell'asse, nel senso di rotazione indicato. Si faccia riferimento alla figura per una miglior comprensione grafica.

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Asse x1

Adesso procediamo con il definire un altro asse. Possiamo chiamarlo "x1"; esso è solidale con l'asta, cioè viene posto lungo l'asta e ruota insieme ad essa. Il suo punto di origine "O" è l'estremità dell'asta, mentre "L" rappresenterà la lunghezza dell'asta. A questo punto, considerati i dati, possiamo passare all'analisi delle formule.

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Le grandezze dell'asta

Le grandezze note sono due: la massa e la lunghezza dell'asta. A questo punto, per calcolare il momento di inerzia, dobbiamo utilizzare la formula in cui si esprime che il momento di inerzia è uguale all'integrale di linea per la densità di massa. Nel caso preso in considerazione, la massa dell'asta è uguale in tutti i punti e quindi lambda (che rappresenta la densità lineare di massa) è costante. Quindi "dl" rappresenta un pezzetto infinitesimo dell'asta, ed "R" al quadrato non è altro la distanza che c'è tra l'asse di rotazione "z" e "dl". La distanza in questo caso considerata deve essere quella minima: in pratica, tra l'asse di rotazione "z" e il pezzetto "dl", si deve formare un angolo pari a novanta gradi.

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Grandezze in funzione di x1

Adesso dobbiamo esprimere le suddette grandezze in funzione di "x1", che è il nostro sistema di riferimento perché, come detto, è solidale con l'asta. Se prendiamo un pezzetto infinitesimo di "dl", è come se prendessimo un pezzetto infinitesimo di "x1". Quindi dl = dx1, ed è l'incremento di "x1". Notiamo anche che la distanza minima è rappresentata da "x1", quindi R al quadrato è "x1" al quadrato. In definitiva, per calcolare esattamente il momento di inerzia, è sufficiente applicare la formula di base (esplicitata anche nei libri). Essa va messa in riferimento al sistema che stiamo prendendo in considerazione: lo si potrà fare riportando e sostituendo i dati nel particolare.
Una volta capito come funziona il momento d'inerzia di una trave sarà davvero molto semplice e veloce calcolare i diversi problemi e risolverli facilmente. Vi basterà infatti seguire i consigli di questa guida per fare apprendere tutto molto velocemente e chiaramente. Vi auguro quindi buono studio.
Alla prossima.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Partite dalla formula di base e riapplicatela ai dati scelti.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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