Come si applica il metodo di Cramer

Il metodo di Cramer prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer ed è un teorema di algebra lineare, che viene applicato per la risoluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite (in cui n=2 ed n=3) attraverso l'uso del determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.
Vedremo come si applica il metodo ad un sistema di equazioni lineari.
Dobbiamo però prima imparare a calcolare il determinante di una matrice.

Per calcolare il determinante di una matrice 2x2

A= a1 b1
a2 b2

si deve procedere seguendo questo semplice schema:

Det A= (a1*b2) - (a2*b1)

Una volta capito come si calcola il determinante di una matrice, passiamo ora all'applicazione del metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare di due incognite.

Dato il sistema lineare a due incognite:

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

calcoliamo il determinante della matrice A dei coefficienti come abbiamo visto prima:

Det A = (a1*b2) - (a2*b1)

Se il determinante della matrice A è pari a zero il metodo di Cramer è inapplicabile ed il sistema risulterà indeterminato o impossibile.

Se il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero si può applicare il metodo di Cramer in quanto il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione).

Calcoliamo quindi il determinante dell'incognita x, sostituendo i valori c1 e c2 rispettivamente al posto di a1 e a2:

Det x = (c1*b2) - (c2*b1)

e seguendo lo stesso metodo calcoliamo il determinante dell'incognita y, sostitundo rispettivamente i valori di c1 e c2 al posto di b1 e b2:

Det y = (a1*c2) - (a2*c1)

La soluzione del nostro sistema è data da:

x= Det x/ Det A

y= Det y/ Det A.

Risolvere il sistema di equazioni lineari applicando il metodo di Cramer:

2x+3y=12
3x-y=7

1) Calcoliamo il deteterminante della matrice A dei coefficienti:

Det A= (2*-1) - (3*3) = -11

Essendo il determinante diverso da zero possiamo applicare il metodo di Cramer per determinare il valore delle incognite x e y.

2) Calcoliamo il valore del determinante di x:


Det x = (12*-1) - (7*3) = -33

3) Calcoliamo il valore del determinante di y:

Det y = (2*7) - (3*12) = -22

Le incognite x e y varranno rispettivamente:

x= Det x/ Det A = -33/ -11= 3

y = Det y/ Det A = -22/ -11= 2

Il metodo di Cramer è facilmente estendibile ad un sistema di tre equazioni lineari.

Consideriamo allora un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite:

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

se il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e si può quindi applicare il metodo di Cramer.

Calcoliamo il determinante della matrice A seguendo la regola di Sarrus, cioè scriveremo la matrice A senza parentesi e copieremo accanto alla esistente una identica matrice.

Il determinante di A è dato quindi da:

Det A= (a1*b2*c3)+(b1*c2*a3)+(c1*a2*b3)-(c1*b2*a3)-(b1*a2*c3)-(a1*c2*b3)

Il deteminante dell'incognita x si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto a1, a2 e a3 i valori d1, d2, d3

Det x= (d1*b2*c3)+(b1*c2*d3)+(c1*d2*b3)-(c1*b2*d3)-(b1*d2*c3)-(d1*c2*b3)

Il deteminante dell'incognita y si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto b1, b2 e b3 i valori d1, d2, d3

Det y= (a1*d2*c3)+(d1*c2*a3)+(c1*a2*d3)-(c1*d2*a3)-(d1*a2*c3)-(a1*c2*d3)

Il deteminante dell'incognita z si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto c1, c2 e c3 i valori d1, d2, d3

Det z= (a1*b2*d3)+(b1*d2*a3)+(d1*a2*b3)-(d1*b2*a3)-(b1*a2*d3)-(a1*d2*b3)

Una volta calcolati i 3 determinanti la soluzione sarà data da:

x = Det x/ Det A
y = Det y/ Det A
z = Det z/ Det A.

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