Consideriamo allora un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite:
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
se il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e si può quindi applicare il metodo di Cramer.
Calcoliamo il determinante della matrice A seguendo la regola di Sarrus, cioè scriveremo la matrice A senza parentesi e copieremo accanto alla esistente una identica matrice.
Il determinante di A è dato quindi da:
Det A= (a1*b2*c3)+(b1*c2*a3)+(c1*a2*b3)-(c1*b2*a3)-(b1*a2*c3)-(a1*c2*b3)
Il deteminante dell'incognita x si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto a1, a2 e a3 i valori d1, d2, d3
Det x= (d1*b2*c3)+(b1*c2*d3)+(c1*d2*b3)-(c1*b2*d3)-(b1*d2*c3)-(d1*c2*b3)
Il deteminante dell'incognita y si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto b1, b2 e b3 i valori d1, d2, d3
Det y= (a1*d2*c3)+(d1*c2*a3)+(c1*a2*d3)-(c1*d2*a3)-(d1*a2*c3)-(a1*c2*d3)
Il deteminante dell'incognita z si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto c1, c2 e c3 i valori d1, d2, d3
Det z= (a1*b2*d3)+(b1*d2*a3)+(d1*a2*b3)-(d1*b2*a3)-(b1*a2*d3)-(a1*d2*b3)
Una volta calcolati i 3 determinanti la soluzione sarà data da:
x = Det x/ Det A
y = Det y/ Det A
z = Det z/ Det A.