Come si applica il metodo di Cramer

Tramite: O2O 05/01/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Il metodo di Cramer prende il nome dal matematico svizzero Gabriel Cramer ed è un teorema di algebra lineare, che viene applicato per la risoluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite (in cui n=2 ed n=3) attraverso l'uso del determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.
Vedremo come si applica il metodo ad un sistema di equazioni lineari.
Dobbiamo però prima imparare a calcolare il determinante di una matrice.

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Come si calcola il determinante di una matrice

Per calcolare il determinante di una matrice 2x2

A= a1 b1
a2 b2

si deve procedere seguendo questo semplice schema:

Det A= (a1*b2) - (a2*b1)

Una volta capito come si calcola il determinante di una matrice, passiamo ora all'applicazione del metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare di due incognite.

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Applicazione del metodo di Cramer ad una matrice lineare con 2 incognite

Dato il sistema lineare a due incognite:

a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2

calcoliamo il determinante della matrice A dei coefficienti come abbiamo visto prima:

Det A = (a1*b2) - (a2*b1)

Se il determinante della matrice A è pari a zero il metodo di Cramer è inapplicabile ed il sistema risulterà indeterminato o impossibile.

Se il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero si può applicare il metodo di Cramer in quanto il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione).

Calcoliamo quindi il determinante dell'incognita x, sostituendo i valori c1 e c2 rispettivamente al posto di a1 e a2:

Det x = (c1*b2) - (c2*b1)

e seguendo lo stesso metodo calcoliamo il determinante dell'incognita y, sostitundo rispettivamente i valori di c1 e c2 al posto di b1 e b2:

Det y = (a1*c2) - (a2*c1)

La soluzione del nostro sistema è data da:

x= Det x/ Det A

y= Det y/ Det A.

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Facciamo un esempio

Risolvere il sistema di equazioni lineari applicando il metodo di Cramer:

2x+3y=12
3x-y=7

1) Calcoliamo il deteterminante della matrice A dei coefficienti:

Det A= (2*-1) - (3*3) = -11

Essendo il determinante diverso da zero possiamo applicare il metodo di Cramer per determinare il valore delle incognite x e y.

2) Calcoliamo il valore del determinante di x:


Det x = (12*-1) - (7*3) = -33

3) Calcoliamo il valore del determinante di y:

Det y = (2*7) - (3*12) = -22

Le incognite x e y varranno rispettivamente:

x= Det x/ Det A = -33/ -11= 3

y = Det y/ Det A = -22/ -11= 2

Il metodo di Cramer è facilmente estendibile ad un sistema di tre equazioni lineari.

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Applicazione del metodo di Cramer ad una matrice lineare con 3 incognite

Consideriamo allora un sistema di 3 equazioni lineari in 3 incognite:

a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3

se il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero, il sistema è compatibile e determinato (ossia ammette una ed una sola soluzione) e si può quindi applicare il metodo di Cramer.

Calcoliamo il determinante della matrice A seguendo la regola di Sarrus, cioè scriveremo la matrice A senza parentesi e copieremo accanto alla esistente una identica matrice.

Il determinante di A è dato quindi da:

Det A= (a1*b2*c3)+(b1*c2*a3)+(c1*a2*b3)-(c1*b2*a3)-(b1*a2*c3)-(a1*c2*b3)

Il deteminante dell'incognita x si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto a1, a2 e a3 i valori d1, d2, d3

Det x= (d1*b2*c3)+(b1*c2*d3)+(c1*d2*b3)-(c1*b2*d3)-(b1*d2*c3)-(d1*c2*b3)

Il deteminante dell'incognita y si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto b1, b2 e b3 i valori d1, d2, d3

Det y= (a1*d2*c3)+(d1*c2*a3)+(c1*a2*d3)-(c1*d2*a3)-(d1*a2*c3)-(a1*c2*d3)

Il deteminante dell'incognita z si calcolerà andando a sostituire nella matrice al posto c1, c2 e c3 i valori d1, d2, d3

Det z= (a1*b2*d3)+(b1*d2*a3)+(d1*a2*b3)-(d1*b2*a3)-(b1*a2*d3)-(a1*d2*b3)

Una volta calcolati i 3 determinanti la soluzione sarà data da:

x = Det x/ Det A
y = Det y/ Det A
z = Det z/ Det A.

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