Come semplificare seno e coseno

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La trigonometria è una parte della matematica piuttosto interessante che ci consente di studiare in maniera approfondita e scientifica la costruzione di varie figure geometriche. Grazie allo studio di particolari funzioni e formule è possibile risalire alla costruzione di particolari figure. La quasi totalità degli esercizi matematici di trigonometria si basa su due concetti fondamentali di questa branca: seno e coseno. Analizzando attentamente il quesito posto, e conoscendo alcune relazioni fondamentali, degli esercizi apparentemente impegnativi possono diventare semplici da risolvere. Per questo, prima di vedere come semplificare questi elementi, ricordiamone la definizione: dato un triangolo rettangolo, si definisce seno di uno dei due angoli interni dell'ipotenusa, il rapporto tra la lunghezza del cateto (opposto rispetto all'angolo), e quella dell'ipotenusa. Viceversa, il coseno è definito come il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all'angolo e quella dell'ipotenusa prende il nome di coseno. Si definiscono tramite una circonferenza di raggio unitario e con l'identificazione dei quattro quadranti: per questo motivo il loro periodo è uguale a 2 pi greco, cioè 360 gradi. Vediamo quindi di approfondire questo argomento, apparentemente difficile ma semplice da risolvere una volta capito il meccanismo. Mettiamoci quindi all'opera e vediamo come risolvere.

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Occorrente

  • Libro di trigonometria
  • Tabella dei valori noti
  • Esercizi di trigonometria
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Equazione fondamentale

La relazione fondamentale tramite la quale seno e coseno sono legati, è detta equazione fondamentale della trigonometria. Si tratta di una delle conseguenze del celebre teorema di Pitagora e si esprime in questo modo: sin^2(x) + cos^2(x) = 1. La grande utilità di questa semplice espressione è ovviamente la possibilità di calcolare una delle due variabili conoscendo solo l'altra. Esternando la relazione abbiamo: sin^2(x) = 1 - cos^2(x); cos^2(x) = 1 - sin^2(x). Questa tecnica accorcia di molto la risoluzione dei problemi.

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Angoli differenti

Naturalmente esistono una serie di angoli comuni (a 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°) che si presentano costantemente, sia di per sé sia come somma o differenza di altri angoli. Insomma conoscendo i loro valori di seno e coseno, potremo facilmente finire l'esercizio o comunque ricavarci i valori che servono. Ciò vale anche per gli angoli che superano i 360°, visto che proprio 360° è un valore eliminabile, per lasciare solo un angolo già noto. Memorizzate i valori noti riportati nelle tabelle del vostro libro di trigonometria o trovabili facilmente su internet (un esempio è l'immagine che accompagna questo passo della guida).

Continua la lettura
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Quadranti del seno e del coseno

I concetti appena descritti sono utili per risolvere esercizi pratici, come quello del seguente esempio: sin (180°-x)*cos (-x) - sin (-x)*cos (180°+x). I due termini esterni sin (180°-x) e cos (180°+x) possono essere facilmente risolti ricordando che nel primo quadrante sia il seno che il coseno sono negativi, nel secondo il coseno è negativo mentre il seno è positivo, nel terzo sono entrambi negativi e nel quarto il coseno è positivo mentre il seno è negativo. Quindi, nel primo caso, avremo sin (180°-x) = sin (x) mentre nel secondo caso otterremo che cos (180°+x) = -cos (x). Gli altri due termini cos (-x) e sen (-x) si risolvono facilmente sapendo che la funzione coseno è pari, quindi si avrà sempre cos (-x) = cos (x), mentre quella del seno è dispari, quindi
sin (-x) = -sin (x). L'espressione matematica finale sarà: sin (x)*cos (x) - sin (x) cos (x) = 0.
Semplificare il seno e il coseno è un'operazione piuttosto semplice, anche se all'inizio potrebbe sembrare complesso e di non facile comprensione. Con un po' di esercizi e seguendo le indicazioni di questa guida potrete riuscirci in pochissimo tempo ad imparare questi concetti fondamentali. Vedrete che risolvere problemi di trigonometria diventera' anche divertente. Vi auguro quindi buono studio e buona fortuna.
Alla prossima.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Memorizzare i valori relativi agli angoli noti
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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