Come semplificare le funzioni esponenziali

La matematica è sempre stata la materia che ha fatto paura un po' a tutti, soprattutto per il fatto che tutti i concetti sono strettamente correlati fra loro. La funzione esponenziale è uno dei concetti matematici più difficili, per via della sua rappresentazione sul piano cartesiano e la difficoltà delle equazioni in cui viene inserita. La funzione esponenziale aumenta rapidamente, motivo per cui sono considerate delle valide soluzioni ai tipi più semplici di sistemi dinamici. Ad esempio, una funzione esponenziale si verifica in semplici modelli di crescita dei batteri; tuttavia, una funzione esponenziale può anche descrivere la crescita o il decadimento. Tramite il teorema binomiale e la definizione di serie delle potenze, la funzione esponenziale può anche essere definita come limite.Generalmente questo argomento viene trattato alle superiori per affrontare lo studio di funzione ma è molto importante approfondirlo durante lo svolgimento delle equazioni. La funzione esponenziale, graficamente si comporta molto similmente a mezzo ramo di parabola ma il suo andamento è molto più rapido. In questa guida vi mostrerò, utilizzando un esempio, come semplificare le funzioni esponenziali in pochi passaggi.

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Per eseguire la semplificazione è necessario ricordare il tipo di rapporto che lega la funzione esponenziale al logaritmo. Il rapporto che c'è tra queste due funzioni è lo stesso che intercorre tra il quadrato di un numero e la radice dello stesso numero alla seconda: sono opposte. L'esponenziale consiste generalmente in un numero, come il numero di nepero o un numero naturale, al cui esponente vi è un'incognita. Grazie alla funzione logaritmo, è possibile ricavare l'incognita esponente, ponendo davanti alla base dell'esponenziale un log con la stessa base. Il rapporto scritto come formula è il seguente: a^x=b e x=log (in base a) b. Poiché i due si annullano otterremo l'incognita desiderata per svolgere la nostra funzione o equazione in modo semplice. Dal momento che è inutile avere entrambi i parametri, ne verrà eliminato uno.

In caso ci trovassimo di fronte ad una equazione esponenziale semplice, ossia nella quale dall'altra parte dell'uguale abbiamo un numero che è palesemente la potenza della base dell'esponenziale, non ci resta che convertire quel numero stesso in potenza. A questo punto ottenendo una stessa base a sinistra e destra dell'uguale non ci resta che eliminare le basi e risolvere la nuova equazione che ha l'incognita ed il numero ottenuto. Ad es: 2^x= 32 è la nostra funzione. Trasformiamo il 32 in 2^5 e sostituiamolo al numero, ottenendo 2^x=2^5. Basi uguali si possono eliminare per cui rimane: x=5 che è soluzione finale della funzione. Come con qualsiasi altra funzione, l'azione di una funzione esponenziale f(x) può essere descritta dalla metafora della macchina della funzione che accetta un input e lo trasforma in output.

Il logaritmo ci viene in aiuto nel caso in cui ci sono termini con basi diverse. Per risolvere l'equazione è necessario scegliere una base di cui fare il logaritmo, facendo attenzione che le basi non siano tra loro multiple, ed apporre il logaritmo ad ognuna delle basi. Ad es: 3^2x=5. Ovviamente sia 3 che 5 sono basi diverse ed il 5 non è multiplo di 3, per cui eliminiamo la base 3 con il logaritmo in modo che sia possibile ottenere l'incognita. Applicando il logaritmo a destra e sinistra dell'uguale otteniamo: log (in base 3)3^2x=log (in base 3)5. Il termine a sinistra si semplifica e otteniamo 2x=log (in base 3)5. Per trovare il valore della x non ci resta che dividere log (in base 3)5 per 2 e l'equazione è terminata. Potremmo rappresentare la base dell'elevamento a potenza di un parametro b. Quindi, potremmo descrivere f come una funzione con un unico parametro (una funzione con un unico quadrante): f(x) = bx.

• Per praticità, ogni volta che affrontiamo funzioni esponenziali, scriviamoci vicino il rapporto con il logaritmo

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