Come scrivere una serie di Fourier

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La maggior parte dei fenomeni fisici presentano una struttura così articolata, da non poter essere descritti con funzioni dotate di espressione elementare. Le suddette relazioni sono, in generale, molto complicate nella forma e presentano strani andamenti periodici. L'analisi matematica, tuttavia, fornisce uno strumento molto utile per rappresentare funzioni complesse mediante la somma di funzioni elementari, ovvero lo sviluppo in serie di Fourier. In questa guida illustreró come scrivere una serie di Fourier.

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Occorrente

  • Quaderno a quadretti
  • Matita
  • Riga
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Definizione di serie di Fourier

Lo sviluppo in serie di Fourier permette di rappresentare una funzione reale mediante una somma di infiniti termini sinusoidali e cosinusoidali, moltiplicati per opportuni coefficienti. Trattandosi di una serie di funzioni, si avrà la dipendenza da due parametri: la variabile reale x indicante il punto nel quale si vuole scrivere la serie, e l'indice naturale n indicante il grado di approssimazione del valore della funzione mediante la serie. La seria calcola in un certo punto Xo converge al valore che assume la funzione nel suddetto punto. Chiaramente è impossibile calcolare la somma di infiniti termini ma, tutto sommato, ne sono sufficienti solo alcuni per avere una buona approssimazione della funzione. Se si desidera avere una migliore approssimazione è possibile affidarsi al calcolo automatico.

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Calcolo dei coefficienti

Data una funzione reale di variabile reale, y=f (x), definita in un sottoinsieme di R e periodica di periodo 2?, la forma generale della sua serie di Fourier è la seguente: f (x)=Ao+?[?(n)cos(nx)+B (n) sen (nx)], con x variante nel dominio della funzione ed n nell'insieme dei numeri naturali. Ao, A (n) e B (n) sono i tre coefficienti della serie, dei quali due dipendono dall'indice n e il terzo ne è indipendente. Per determinare Ao bisogna calcolare l'integrale nella variabile x esteso all'intervallo [-?,+?] della funzione f (x) e moltiplicare il risultato ottenuto per 1/2?; per determinare A (n) si procede come prima integrando, però, fa funzione f (t)*cos (nx) e moltiplicando il risultato per 1/?; ed infine B (n) si determina analogamente ad A (n), salvo che la funzione integranda sia f (t)*sen (nx). Una volta calcolati i tre coefficienti è sufficienti comporli rispettando la forma generale della serie.

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Proprietà di convergenza

La serie di Fourier converge alla funzione f (x) per ogni x appartenente al dominio della funzione, mentre se la funzione presenta punti di discontinuità di prima specie, (discontinuità a salto), la sua serie di Fourier, calcolata in tali punti, converge ad un valore dato dalla media aritmetica dei valori che assume la funzione in un intorno destro e sinistro del punto di discontinuità considerato.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Essere molto ordinati e meticolosi nell'effettuare i vari calcoli
  • Rapprensare l'andamento della funzione da scrivere mediante la sua serie di Fourier
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