Come scrivere la lagrangiana in meccanica

Di: J. F.
Tramite: O2O 23/03/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Eccoci qui, ancora una volta a proporre ai nostri lettori un argomento alquanto interessante ed anche sempre attuale. Stiamo parlando del come far eper scrivere la Lagrangiana in meccanica, nella maniera più smeplice e veloce possibile.
Inizizamo subito la nostra guida con il dire e specificare che la meccanica lagrangiana risulta essere esattamente una riformulazione delle specifiche teorie meccaniche. In tali teorie, la lagrangiana si ottiene precisamente dalla differenza tra l'energia potenziale e l'energia cinetica. Continuate, dunque, a leggere questa importante guida per comprendere in maniera relativamente facile e rapida come scrivere la lagrangiana in meccanica. Buon lavoro e buon divertimento!

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Occorrente

  • penna
  • foglio
  • conoscenze di base della teoria
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La forma di una lagrangiana

Ovviamente la forma di una lagrangiana varia in modo piuttosto significativo in relazione ai diversi esercizi. Dunque, si inizia esattamente con l'impostare gli assi cartesiani del problema. Risulta essere estremamente opportuno scegliere con attenzione dove posizionare gli assi, in quanto questa operazione potrebbe semplificare notevolmente i vostri precisi calcoli.

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Definizione dei gradi di libertà

Giunti a questa specifica fase dell'operazione, dovrete definire i gradi di libertà, che corrisponderanno esattamente al numero di coordinate generalizzate che compariranno nella vostra lagrangiana. Si usa quindi la formula: n=3N-k dove N indica precisamente il numero delle particelle prese in considerazione e k il numero di relazioni matematiche che definiscono i vincoli olonomi del problema.

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Definizione dell' energia cinetica

Bisogna quindi definire necessariamente l'energia cinetica, partendo precisamente dall'espressione delle coordinate posizionali per ogni particella che compare nel vostro problema. Per ogni particella si fanno le derivate delle coordinate, queste si elevano al quadrato e si sommano, ottenendo così le velocità al quadrato. L'energia cinetica totale sarà quindi data esattamente dalla la somma di tutte quelle ottenute per ogni singola e specifica particella.

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Definizione dell'energia potenziale

Per quanto riguarda invece l'energia potenziale, essa varia da problema a problema a seconda del tipo di forze presenti. Principalmente avrete a che fare con energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elastica. La prima cosa da fare risulta essere quella di fissare il livello zero di energia potenziale per ogni tipo di energia presente.
Anche in questo caso una buona scelta permette di semplificare notevolmente i calcoli.
Si utilizzano quindi le note formule per esprimere le energie.
Ad esempio U=mgh+ho nel caso dell'energia potenziale gravitazionale e U=(1/2) k (x-xo)^2 nel caso dell'energia potenziale elastica, dove appunto ho e xo variano a seconda del livello di base. Potete così scrivere la vostra lagrangiana che dalla teoria risulta essere: L=T-U.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Al passo 2: Nella formula dei gradi di libertà compare la cifra 3 in quanto si suppone che il problema sia tridimensionale; se il problema è impostato nel piano si può utilizzare la cifra 2.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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