Come scrivere l'Hamiltoniana in un esercizio di meccanica

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La meccanica è una materia piuttosto amplia e complessa che richiede uno studio molto approfondito per essere appresa e messa in pratica. Esistono infatti moltissime varianti da tenere a mente quando si effettuano dei calcoli. Uno dei problemi fondamentali della meccanica è la determinazione dell’equazione del moto di un sistema a vincoli olonomi con n gradi di libertà in un campo di forze derivabili da un potenziale V. Per determinare l’equazione del moto di un tale sistema si usa lo strumento dell’Hamiltoniana, che fornisce le equazioni del moto cosiddette di Hamilton, dal suo inventore. Continua, quindi, a leggere questa interessante ed utile guida per apprendere come scrivere l'hamiltoniana in un esercizio di meccanica.

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Individuare le coordinate

Individua le coordinate generalizzate del sistema. Indicheremo tali coordinate generalizzate con q1, q2, … qn, dove n è il numero di gradi di libertà del sistema con tali coordinate generalizzate. Per poterle individuare bisogna dapprima calcolare il numero di gradi di libertà del sistema e successivamente individuare dei parametri indipendenti del moto del sistema. Ad esempio, un punto materiale in un piano ha 2 gradi di libertà, che possono essere sia la sua posizione in coordinate cartesiane (x, y) sia in coordinate angolari (r, α) dove r è la distanza del punto dall’origine del sistema cartesiano e α è l’angolo compreso tra l’asse delle x e la retta passante per il punto e l’origine. Pertanto, le coordinate generalizzate in questo caso possono essere la coppia (x, y) oppure (r, α). Ognuna di queste, infatti, ha due parametri indipendenti tra di loro.

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Calcolare la Lagrangiana

Per poter calcolare l’Hamiltoniana, occorre dapprima calcolare la Lagrangiana del sistema. Innanzitutto, una Lagrangiana si può calcolare solo se il sistema si muove in un campo di forze F derivante da un potenziale V (q1, q2, .. Qn, t), ovvero

F=-grad V

Inoltre, il potenziale può anche non essere conservativo, cioè può variare nel tempo. Fatte queste premesse, calcola la Lagrangiana di un qualsiasi sistema. Detta T (q1, q2, .. Qn, t) l’energia cinetica del sistema, la Lagrangiana L è data dalla differenza tra l’energia cinetica e il potenziale ovvero

L = T-V

Nel caso di un punto materiale di massa m in un campo di forze nello spazio, si ottiene quanto indicato nella formula (1), dove le coordinate generalizzate sono (x, y, z). Come puoi notare, la Lagrangiana può dipendere dalle velocità delle coordinate generalizzate.

Continua la lettura
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Calcolare i momenti

Calcola i momenti coniugati del sistema, detti anche generalizzati, p1, p2, .., pn di un sistema con lagrangiana sono definiti dalla formula (2), dove i è uguale ad 1 per la prima coordinata, 2 per la seconda coordinata e così via fino ad avere i uguale ad n. Nel caso del punto di massa m indicato nella formula (1) si ottiene per i momenti, sostituendo la lagrangiana ottenuto in (1), quanto indicato nella formula (2A) .

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Come indicare l'Hamiltoniana

L’Hamiltoniana viene indicata con H ed è definita come indicato nella formula (3) della figura.
Riprendi il precedente esempio di un punto di massa m che si muove in un campo di forze derivato da un potenziale V. Sostituendo la (1) nella formula (3) si ottiene la formula (4).
Sostituendo i valori dei momenti coniugati ottenuti nella sezione precedente e semplificando si ottiene l’Hamiltoniana descritta in (5). Semplificando ulteriormente si ottiene la formula (6), che corrisponde all’energia totale del sistema.
Per imparare in maniera piuttosto ottimale a svolgere un'esercizio di meccanica è necessario studiare molto bene ed approfonditamente ogni singolo aspetto, solo così potrete procedere e risolvere al meglio gli esercizi che vi si proporranno. Grazie ai consigli di questa guida saprete come scrivere un'Hamiltoniana in un esercizio di meccanica, con la pratica diventerete sempre più bravi e attenti. Non mi resta che augurarvi buon lavoro e buona fortuna.
Alla prossima.

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