Come scrivere l'Hamiltoniana in un esercizio di meccanica

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
15

Introduzione

La meccanica è una materia piuttosto amplia e complessa che richiede uno studio molto approfondito per essere appresa e messa in pratica. Esistono infatti moltissime varianti da tenere a mente quando si effettuano dei calcoli. Uno dei problemi fondamentali della meccanica è la determinazione dell’equazione del moto di un sistema a vincoli olonomi con n gradi di libertà in un campo di forze derivabili da un potenziale V. Per determinare l’equazione del moto di un tale sistema si usa lo strumento dell’Hamiltoniana, che fornisce le equazioni del moto cosiddette di Hamilton, dal suo inventore. Continua, quindi, a leggere questa interessante ed utile guida per apprendere come scrivere l'hamiltoniana in un esercizio di meccanica.

25

Individuare le coordinate

Individua le coordinate generalizzate del sistema. Indicheremo tali coordinate generalizzate con q1, q2, … qn, dove n è il numero di gradi di libertà del sistema con tali coordinate generalizzate. Per poterle individuare bisogna dapprima calcolare il numero di gradi di libertà del sistema e successivamente individuare dei parametri indipendenti del moto del sistema. Ad esempio, un punto materiale in un piano ha 2 gradi di libertà, che possono essere sia la sua posizione in coordinate cartesiane (x, y) sia in coordinate angolari (r, α) dove r è la distanza del punto dall’origine del sistema cartesiano e α è l’angolo compreso tra l’asse delle x e la retta passante per il punto e l’origine. Pertanto, le coordinate generalizzate in questo caso possono essere la coppia (x, y) oppure (r, α). Ognuna di queste, infatti, ha due parametri indipendenti tra di loro.

35

Calcolare la Lagrangiana

Per poter calcolare l’Hamiltoniana, occorre dapprima calcolare la Lagrangiana del sistema. Innanzitutto, una Lagrangiana si può calcolare solo se il sistema si muove in un campo di forze F derivante da un potenziale V (q1, q2, .. Qn, t), ovvero

F=-grad V

Inoltre, il potenziale può anche non essere conservativo, cioè può variare nel tempo. Fatte queste premesse, calcola la Lagrangiana di un qualsiasi sistema. Detta T (q1, q2, .. Qn, t) l’energia cinetica del sistema, la Lagrangiana L è data dalla differenza tra l’energia cinetica e il potenziale ovvero

L = T-V

Nel caso di un punto materiale di massa m in un campo di forze nello spazio, si ottiene quanto indicato nella formula (1), dove le coordinate generalizzate sono (x, y, z). Come puoi notare, la Lagrangiana può dipendere dalle velocità delle coordinate generalizzate.

Continua la lettura
45

Calcolare i momenti

Calcola i momenti coniugati del sistema, detti anche generalizzati, p1, p2, .., pn di un sistema con lagrangiana sono definiti dalla formula (2), dove i è uguale ad 1 per la prima coordinata, 2 per la seconda coordinata e così via fino ad avere i uguale ad n. Nel caso del punto di massa m indicato nella formula (1) si ottiene per i momenti, sostituendo la lagrangiana ottenuto in (1), quanto indicato nella formula (2A) .

55

Come indicare l'Hamiltoniana

L’Hamiltoniana viene indicata con H ed è definita come indicato nella formula (3) della figura.
Riprendi il precedente esempio di un punto di massa m che si muove in un campo di forze derivato da un potenziale V. Sostituendo la (1) nella formula (3) si ottiene la formula (4).
Sostituendo i valori dei momenti coniugati ottenuti nella sezione precedente e semplificando si ottiene l’Hamiltoniana descritta in (5). Semplificando ulteriormente si ottiene la formula (6), che corrisponde all’energia totale del sistema.
Per imparare in maniera piuttosto ottimale a svolgere un'esercizio di meccanica è necessario studiare molto bene ed approfonditamente ogni singolo aspetto, solo così potrete procedere e risolvere al meglio gli esercizi che vi si proporranno. Grazie ai consigli di questa guida saprete come scrivere un'Hamiltoniana in un esercizio di meccanica, con la pratica diventerete sempre più bravi e attenti. Non mi resta che augurarvi buon lavoro e buona fortuna.
Alla prossima.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Liouville: dimostrazione

Spesso chi studia allo scientifico o in facoltà tecnico scientifiche come ingegneria sa bene che imparare e comprendere i teoremi non è cosa da poco specie se questi introducono vari concetti. Questi teoremi sono molte volte utili per la risoluzione...
Università e Master

Come calcolare l'equazione del moto di un sistema meccanico

La meccanica è lo studio delle variazioni che subiscono i corpi nello spazio. Lo scopo principale della meccanica è basato sulla ricerca degli integrali del moto. Partiremo dall'equazione di Lagrange in un sistema meccanico ad "s" gradi di libertà...
Università e Master

Teorema di Bloch (analisi complessa): dimostrazione

La matematica è da sempre la materia più ostica e complessa, sia per i bambini delle scuole elementari, sia degli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuto al fatto che i concetti matematici sono strettamente...
Università e Master

Equazioni di Eulero-Lagrange

La scuola è stata la struttura che ci ha accolti per tanti anni all'insegna dell'apprendimento e dello studio, che sia stato l'italiano o lingue o matematica, ognuna con difficoltà differenti ma, come tutte le cose non si finisce mai di conoscere. In...
Università e Master

Come Verificare Le Leggi Del Moto Uniforme

In fisica l'equazione del moto descrive il movimento di un sistema in funzione della posizione nello spazio e del tempo. L'equazione che caratterizza l'andamento della posizione in funzione del tempo è detta legge oraria. Un sistema meccanico con n gradi...
Superiori

Fisica: il principio di conservazione dell'energia

In fisica, un principio fondamentale è quello di conservazione dell'energia. Secondo questo principio, in un sistema isolato (cioè dove non esistono forze esterne) l'energia totale si mantiene sempre quantitativamente uguale, anche se avvengono trasformazioni...
Università e Master

Come risolvere un problema di fisica con la conservazione dell'energia

Va detto prima di tutto che, nell'analisi classica della fisica meccanica la maggior parte delle grandezze analizzate sono di natura vettoriale e ciò a volte può risultare non molto comodo da un punto di vista computazionale. Per tale motivo si predilige...
Superiori

Fisica: il teorema di Varignon

Sono tantissimi gli studenti che ogni anno si trovano in difficoltà con i primi concetti, leggi e teoremi di fisica. Spesso questi argomenti non vengono vissuti dai ragazzi con lo spirito giusto, il che preclude le possibilità di apprendere le nozioni...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.