Come scrivere l'equazione parametrica di una retta

Nell'algebra, nella matematica e nella geometria analitica capita spesso di entrare in contatto con la definizione di retta, sia per capire come questa si muova nel piano, sia per trovare dei punti sulla stessa, magari in relazione ad altre figure geometriche. Un esempio potrebbe essere quello di trovare una retta tale che sia parallela o perpendicolare ad un'altra oppure che sia tangente ad un cerchio. Detto questo è bene precisare che definiamo la retta come un ente geometrico composto da infiniti punti identificabili tramite sistema di coordinate (x,y). Per descrivere la retta nel piano ci si avvale di una formula, detta equazione, le cui soluzioni sono i punti della retta. In particolare sostituendo dei valori (x,y) di nostro interesse è possibile verificare se quel punto appartiene o meno alla retta stessa. L'equazione di una retta è esprimibile in vari modi e in particolare ci concentreremo su come scrivere l'equazione parametrica di una retta.

In generale esprimiamo una retta attraverso la propria equazione: questa può essere scritta in due maniere differenti.

La prima forma è detta implicita ed è scrivibile come ax+by+c=0 dove a, b, c sono dei coefficienti numerici reali. Questa formula è sintetizzabile nella dicitura f(x,y)=0 che indica appunto che la retta nei punti x,y è uguale a 0. Nel caso particolare di b=0 abbiamo una retta del tipo ax+c=0, quindi verticale e parallela all'asse delle ordinate. Nel caso particolare di a=0 invece abbiamo una retta del tipo by+c=0, quindi orizzontale e parallela all'asse delle ascisse.
La seconda forma con cui è possibile scrivere una retta è detta esplicita ed è scrivibile come y=mx+q. Questa mette in evidenza la dipendenza della variabile y dalla x, detta anche variabile libera. In generale m viene denominato coefficiente angolare e ci da informazioni circa l'angolazione della retta. La q invece viene detta quota o termine noto, e graficamente è rappresentata come una altezza che cade verso gli assi.

Rispetto alle equazioni precedenti, l'equazione parametrica di una retta in un piano è leggermente differente sia in aspetto che funzione. Questo perché è necessario introdurre alcuni concetti base prima di poterla studiare. In primo luogo si da la definizione di sistema: esso è un insieme di equazioni la cui soluzione, del sistema, è la soluzione comune a tutte le equazioni. Il secondo elemento di cui si deve dare nota è la direzione, chiamata anche vettore. Essa è una componente (x,y) chiamata (v1,v2) che indica la direzione della retta nel piano. Essa sostituisce l'm che è il coefficiente angolare dell'equazione precedente.

Arriviamo dunque al punto centrale della discussione. L'equazione parametrica si presenta come:

| x=x0+tv1
|
|y=y0+tv2

dove t è un parametro reale che dipende dalla retta stessa.
Le due equazioni si utilizzano in concomitanza e daranno come risultato il sistema delle soluzioni:

|x= soluzione

|
|y= soluzione
Questo deve essere poi utilizzato nei problemi richiesti, come trovare punti o intersezioni.

• Assicurarsi di tracciare bene le rette nei punti
• In casi di risoluzioni di sistemi, tenere i conti ordinati

• Spiegazione aggiuntiva
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