Come scrivere l'equazione di una parabola

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Ecco una guida, del tutto utile, importante ed anche efficace, nei confronti degli alunni delle scuole superiori e non solo. Sarà questa una guida, pratica e veloce, che li potrà aiutare a capire ed imparare meglio e nei minimi dettagli, come e cosa fare per poter scrivere, nel modo corretto, l'equazione di una parabola, senza incorrere in errori ed evitando di eseguire dei passaggi, che sono poco utili, alla risoluzione del nostro obiettivo. Iniziamo quindi questo articolo con il dire che molto spesso quando ci mettiamo sotto con lo studio possiamo incontrare una serie di difficoltà e degli ostacoli che possono in un certo qual modo frenare in maniera piuttosto sostanziale il nostro corretto apprendimento. Diventa a tal proposito fondamentale approcciarsi, attraverso magari le giuste metodiche di studio, in maniera corretta nei confronti di una determinata materia o di un argomento specifico piuttosto ostico e di ardua comprensione. In questa guida tratteremo un argomento di una materia che provoca non pochi grattacapi agli studenti che la studiano, ovvero la matematica. Vedremo per essere più precisi come poter scrivere l'equazione di una parabola in maniera ottimale. Non resta che augurare a tutti una buona lettura ed anche una buona realizzazione di questa guida, pratica ed anche molto utile.

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Occorrente

  • Avere una buona conoscenza dei sistemi lineari e della loro risoluzione
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Equazione generale della parabola

L'equazione generale della parabola è y= ax^2 +bx +c nel caso in cui l'asse di simmetria sia parallelo o coincidente all'asse delle ordinate, mentre nel caso in cui l'asse di simmetria sia parallelo o coincidente con l'asse delle ascisse l'equazione diverrebbe x= ay^2 + by + c.

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Equazione della parabola passante per 3 punti

L'equazione di una parabola è ottenibile rispettando determinate condizioni. Una di queste condizioni, quindi, potrebbe consistere nel far passare la parabola per tre punti.
Se sono noti 3 punti A, B, C con coordinate x e y note, si sostituiscono alla x e alla y dell'equazione generale y= ax^2 + bx + c le coordinate dei punti conosciuti in modo da ottenere tre equazioni da mettere a sistema per calcolare le incognite a, b, c. Proviamo ad ipotizzare un esempio in cui A (3;2), B (1;6) e C (2;5) siano i punti noti e le coordinate che occorrerà sostituire nell'equazione: per il punto A:2= a (3x3) + b (3) + c, per il punto B:6= a (1x1) + b (1) + c, per il punto C : 5= a (2x2) + b (2) + c. Si trovano così i valori a, b e c che successivamente sostituiremo nell'equazione generale determinando l'equazione della parabola passante per tre punti noti.

Continua la lettura
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Equazione della parabola passante per un punto e noto il vertice

Se sono noti due punti, ed uno dei due è il vertice, occorre sostituire le coordinate del punto generico all'equazione generale della parabola y= ax^2 + bx + c. Trovata l'equazione è possibile metterla a sistema con altre due calcolate attraverso la conoscenza del vertice. Le coordinate del vertice sono V: x= -b /2a; y= (-b^2 +4ac)/4a: in questo modo si individueranno le incognite a, b e c che devono essere sostituite nell'equazione generale.

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Equazione della parabola passante per un punto e noto il fuoco

Se sono noti due punti, di cui uno dei due è il fuoco, andranno invece sostituite le coordinate del punto generico all'equazione generale della parabola y= ax^2 + bx + c. Rintracciata l'equazione suddetta si procede mettendo a sistema con altre due equazioni calcolate attraverso l'individuazione del fuoco. Le coordinate del fuoco sono F: x= -b/2a; y= (1- b^2 + 4ac) /4a: in questo modo si determineranno le incognite a, b e c da sostituire nell'equazione generale.

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Equazione della parabola usando la definizione

La parabola, in geometria euclidea, è definita come "il luogo geometrico dei punti nel piano equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice". Per ricavare l'equazione sfruttando la definizione bisogna imporre che la distanza d'un generico punto P (x, y) dal fuoco F di cui sono note le coordinate sia pari alla distanza del medesimo punto P (x, y) dalla direttrice della quale è nota l'equazione. Ad esempio se il fuoco ha coordinate F (1,2) e la direttrice ha equazione y=3 si ottiene la seguente equazione: (x-1)^2+(y-2)^2=(y-3)^2. In questo esempio ho elevato ambo i membri dell'equazione al quadrato. Una volta risolta tale equazione rispetto la variabile y si ottiene come soluzione l'equazione d'una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate.

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Metodi differenziali

Un metodo particolare per ricavare l'equazione di una parabola, da usare nel caso non si ricordino le espressioni delle coordinate del vertice della parabola, è legato all'utilizzo delle derivate. La parabola è la curva caratteristica di un'equazione quadratica, la quale è dotata di un punto di minimo o di un punto di massimo a seconda del segno del coefficiente del termine di secondo grado. Note le coordinate del vertice della parabola ed un qualunque altro ente che leghi i coeficienti dell' equazione della parabola si procede al calcolo della derivata prima dell'equazione generale della parabola in modo da ottenere un polinomio di primo grado (ovvero l'equazione di una retta). Si studia il segno del polinomio ponendolo maggiore o uguale a zero e si determina l'unico zero di questa funzione coincidente col punto di minimo o massimo della parabola. Sostituendo tale punto nell'equazione della parabola si ottiene il massimo o minimo della parabola. Poste queste due coordinate letterali uguali a quelle del vertice si ottengono le prime due equazioni. Sfruttando il secondo ente dato, (come ad esempio un punto di passaggio o una retta tangente) si ottiene la terza equazione e quindi un sistema lineare determinato di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c che una volta risolto porterà alla determinazione dell'equazione della parabola.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fare molti esercizi di diverse tipologie
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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