Come scoprire se un ideale è massimale

Tramite: O2O 13/03/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica tra le varie problematiche ci pone spesso la domanda, su come scoprire se un ideale è massimale. Si tratta di una sorta di calcolo che serve a definire ciò, tramite dei cerchi opportunamente identificati, come ad esempio (A+1A) che sarà denominato solo con la seguente simbologia (A). In riferimento a ciò nei passi successivi di questa guida, approfondiamo in modo dettagliato l'argomento in oggetto.

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Un ideale non è altro che una definizione algebrica, che contiene delle regole ben precise. La somma deve comunque appartenere all'ideale stesso, per cui il prodotto tra un suo elemento e quello del cerchio che lo contiene, deve di nuovo appartenere al suddetto ideale. Per questo motivo in algebra la definizione completa, viene enunciata con il nome di massimale ideale.

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Per riuscire a dimostrare degli ideali di tipo bilatere, oppure quelli principali di Z, o ancora di un campo, occorre affidarsi ad un teorema specifico quanto fondamentale, e che serve a stabilire senza il minimo errore l'ideale massimale presenti in un cerchio. L'operazione ha tuttavia bisogno di una buona conoscenza di questa parte dell'algebra, ma in tutta sincerità anche di un pizzico di intuito e di predisposizione verso l'argomento. Per sintetizzare in linee generali, basti pensare proprio al cerchio in cui stiamo lavorando, e cercare di capire come catturare l'ideale più grande che è in grado di generare. Per fare un esempio in un cerchio denominato Z, gli ideali massimali sono i pZ, e questo di conseguenza ci fa sapere che si tratta di un numero primo moltiplicato per alcuni di tipo intero. In base a quanto appena enunciato, si potrebbe pensare che trovando l'ideale 5Z si tratta di un massimale, mentre se invece l'ideale è 4Z non può essere definito tale, in quanto non è un numero primo.

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A margine di questa guida su come scoprire se un ideale è un massimale, è importante oltre che fondamentale sapere che gli ideali stessi sono generati tutti da un elemento specifico, ed è massimale solo se A è considerato un elemento irriducibile. Per trovare quindi facilmente un ideale massimale, è necessario esercitarsi sui casi citati in precedenza, in modo da apprendere alla fine che ci sono tre possibilità di divisibilità di un cerchio ovvero in elementi associati, primi e divisibili, per cui per risolverli bisogna sempre attenersi al minimo comune multiplo e al massimo comune divisore, fondamentali questi ultimi nelle nozioni di algebra.

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