Come scoprire il numero di Eulero

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

In matematica, ed in particolare in teoria dei numeri e in combinatoria, i numeri di Eulero En sono i componenti di una successione di interi che possono essere definiti dal seguente sviluppo in serie di Maclaurin della funzione secante iperbolica: Alcuni autori re-indicizzano la successione per escludere i termini dispari (tutti nulli), e/o cambiano i segni per avere tutti i segni positivi. Qui non ci si attiene a tali convenzioni. È da notare che, a partire da E4, tutti i numeri di Eulero con segno positivo sono divisibili per 5. Quelli con segno negativo sono per la maggior parte numeri composti (scomponibili in fattori primi), ma alcuni sono numeri primi. Oltre a E4 = 5, unico numero di Eulero positivo primo, sono primi, per esempio, i numeri E6 = −61 ed E38 = − 23 489 580 527 043 108 252 017 828 576 198 947 741. I numeri di Eulero compaiono anche negli sviluppi in serie di Maclaurin della secante. Essi inoltre forniscono valori speciali dei polinomi di Eulero e sono collegati ai numeri delle permutazioni alternate. Nei passi della guida a seguire sarà spiegato come scoprire il numero di Eulero.

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Per calcolare il valore (necessariamente approssimato) della costante di Eulero devi prima comprendere il concetto matematico di reciproco e di fattoriale. Ti dico che il reciproco di un numero naturale è semplicemente il risultato della divisione del numero uno per il numero stesso. Quindi il reciproco di due è uguale a uno diviso due, cioè 0,5, mentre il reciproco di quattro è 0,25 e così di seguito. Invece il fattoriale di un numero è il prodotto di se stesso per tutti i numeri naturali in progressione discendente fino a moltiplicare per uno.

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Quindi il fattoriale di due è 2 x 1 = 2, il fattoriale di tre è 3 x 2 x 1 = 6, quello di quattro è 24, il fattoriale di cinque è 120, ecc. Ora, mettendo insieme i due concetti prima descritti, ti dico che puoi ottenere il numero di Eulero sommando (all'infinito) tutti i reciproci dei fattoriali dei numeri naturali elencati successivamente. Facciamo insieme i primi calcoli. A uno devi aggiungere il reciproco del fattoriale di due (che vale, abbiamo già visto, 0,5).

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A questo punto calcoli il fattoriale di tre (che vale 6) e ne fai il reciproco (dal valore di 0,1666... Con cifra periodica 6) e lo sommi alla sommatoria finora ottenuta (1,5) ottenendo 2,666.. Con cifra periodica 6 e prosegui sempre in modo analogo fino a che raggiungi una quantità numerica che varia di pochissimo all'aggiunta di nuovi addendi. Puoi ritenerti soddisfatto ad una risoluzione numerica del tipo 2,71828182845, che rappresenta già una buona approssimazione della costante di Eulero.

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