Come scoprire analiticamente la successione dei numeri esagonali centrati

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

I numeri esagonali appartengono alla classe dei numeri cosiddetti poligonali, si aggiungono ai numeri triangolari, a quelli quadrati e a quelli pentagonali. Nella guida vedremo come farci aiutare dalla matematica per scoprire analiticamente la successione dei numeri esagonali centrati. Quindi mi raccomando leggi attentamente la guida per non sbagliare.

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Prima di tutto considera il numero uno, sottrai uno e ottieni zero, moltiplicalo per il numero iniziale che sarebbe uno, e poi per tre. Il risultato è sempre zero. Aggiungi uno e ottieni uno che è il primo numero esagonale centrato. Nel caso di partenza è stato facile, passa ora ai numeri esagonali centrati successivi.

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Dopo aver utilizzato come numero iniziale uno ora passa a considerare il numero due. Togli uno e ottieni ancora uno. Perciò moltiplica il risultato per il numero iniziale che sarebbe due e ottieni due, poi triplica e ottieni sei. Infine prendi il numero intero successivo, e hai trovato il secondo elemento della successione analizzata, che è il numero sette.

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La regola da applicare è sempre la medesima, ma questa volta parti dal numero tre. Diminuiscilo di uno e ottieni due, poi moltiplica per il numero di partenza che sarebbe tre e ottieni sei, poi fai il triplo di sei e ottieni diciotto. A questo punto aggiungi uno al precedente risultato e ottieni diciannove, che è il terzo elemento della successione dei numeri esagonali centrati.
Applicando la stessa regola descritta nella guida puoi facilmente continuare la successione ricercata.

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Approfondimenti e curiosità: Un numero esagonale centrato è un numero poligonale centrato che rappresenta un esagono con un punto al centro e gli altri punti che lo circondano.
Si mostra come il numero esagonale centrato per n è 6 volte l'(n−1)-esimo numero triangolare più 1. I primi numeri esagonali centrati sono1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919Si è verificato che la somma dei primi n numeri esagonali centrati è n3. Questo significa che le somme dei primi n numeri esagonali centrati e i cubi sono gli stessi numeri, ma rappresentano forme diverse. Visti da un'altra prospettiva, i numeri esagonali centrati sono le differenze tra due cubi consecutivi. I numeri esagonali centrati primi sono primi cubani. La differenza tra (2n)2 e l'n-esimo numero esagonale centrato è un numero nella forma n2 + 3n − 1, mentre la differenza tra (2n − 1)2 e l'n-esimo numero esagonale centrato è un numero oblungo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Seguire bene la guida.
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