Come scomporre una frazione parziale

Scomporre una frazione parziale è un concetto piuttosto semplice che richiede comunque adeguate conoscenze algebriche. La prima nozione consiste nel definire il concetto di raccoglimento a fattor comune che si effettua con un calcolo algebrico all'interno di un polinomio o di una frazione. Inoltre permette di evidenziare una parte numerica o letterale in comune tra i termini, e moltiplicarvi i restanti valori dell?espressione. In riferimento a quanto sin qui premesso, nel presente tutorial vi illustreremo come semplificare una frazione parziale in modo semplice e seguendo alcune regole algebriche ben precise.

• Testo di algebra

RACCOGLIMENTO PARZIALE DI UNA FRAZIONE:PRATICA
Supponete di trovarvi di fronte alla seguente frazione parziale:
X^2 -2x + 37 / x^2-3x-40.
La regola prevede che il numeratore abbia sempre un grado inferiore rispetto al denominatore. Quindi, premesso ciò, dividete il denominatore per il numeratore:
x^2-3x-40? X^2 -2x + 37 = x + 3.
1 + x+3/ x^2-3x-40.
Successivamente eseguite la scomposizione parziale della frazione che nello specifico consiste nel trovare due numeri che sommati danno -3 e moltiplicati danno -40. Sono -8 e +5.
1 + x+3 / (x +5) (x-8)
Scomponete in due frazioni e trovate il denominatore comune:
(a/ x +5) + (b/ x-8)
(a/ x +5) + (b/ x-8) = [ a (x-8) / (x +5) (x-8)] + [b (x+5) / (x +5) (x-8)].
1 + [x+3 / (x +5) (x-8)] = a (x-8) + b (x+5) /(x +5) (x-8)
Potete stabilire la seguente uguaglianza:
x + 3 = a (x-8) + b (x+5).
Se x =5:
-5 +3 = a (-5 - 8) + b (- 5+5).
-2 = -13a
a = 2/13
Se x = 8:
8 +3 = a (+8 ? 8) + b (+8 +5)
11 = 13b
b = 11/13.
A questo punto per portare a buon fine l'operazione non vi resta che sostituire i valori all'intera frazione:
1 + (2/13) / (x +5) + (11/13) / (x-8).

RACCOGLIMENTO PARZIALE DI UNA FRAZIONE: TEORIA
Una volta che abbiamo chiarito il concetto di raccoglimento parziale, scomporre una frazione diventa un processo estremamente semplice. Nello specifico dovete esaminarne attentamente i valori sia al numeratore che al denominatore e ricercare i fattori comuni. Questi ultimi si devono mettere poi in evidenza, e moltiplicare i restanti termini della frazione, chiudendoli in una parentesi tonda. Con questo metodo, in sostanza semplificherete l'operazione rendendola molto più fruibile e di facile comprensione.

RACCOGLIMENTO TOTALE E PARZIALE: DIFFERENZE
Il raccoglimento a fattore comune si divide in totale e parziale. Nel primo caso, il coefficiente in comune è presente in ciascun termine dell?espressione come di seguito descritto:
2ab + 6ac + 9 ad
il fattore comune è ?a?.
a (2b + 6c + 9 d).
Mettendo in evidenza ?a?, avrete applicato un raccoglimento totale. Nel caso di quello parziale invece si può eseguire soltanto ad alcuni termini dell?espressione algebrica del tipo:
9a+7ab - 18b+12bc
Come potete notare, i primi due termini hanno in comune la parte letterale ?a?, mentre i secondi quelli del tipo ?2b?. Da ciò si evince che:
a (9+7b) - 2b (9+6c).
In tal caso questo è un tipico esempio di applicazione di un raccoglimento parziale.

SCOMPOSIZIONE NUMERATORE E DENOMINATORE: CONCETTO
In un'espressione algebrica scomporre numeratore e denominatore è possibile farlo tramite la semplificazione ossia con la messa in evidenza del numeratore e poi del denominatore, eseguendo eventualmente la stessa operazione con il binomio di secondo grado che si trova tra le parentesi. Una volta trovati i numeri dei due binomi di primo grado si effettua la differenza dei quadrati. Da come si evince in base a quanto appena descritto il concetto di scomposizione del numeratore e denominatore è piuttosto semplice, e una volta terminati i calcoli dentro le parentesi quadre, potete procedere con la moltiplicazione tra il risultato derivante e la frazione che viene evidenziata all?esterno di esse.

• Uno studio assiduo delle regole algebriche vi aiuterà a risolvere con facilità i problemi relativi alla scomposizione di una frazione parziale.

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