Come scomporre una frazione parziale

Scomporre una frazione parziale è un concetto relativamente semplice, che richiede adeguate conoscenze algebriche. La prima nozione consiste nel definire il concetto di raccoglimento a fattor comune. Si tratta di un particolare calcolo algebrico, all'interno di un polinomio o di una frazione. Permette di evidenziare una parte numerica o letterale in comune tra i termini, e moltiplicarvi i restanti valori dell’espressione. Con questo metodo, si può scomporre una frazione o un polinomio, tramite il raccoglimento a fattor comune. Come metterlo in pratica? In questo tutorial, vi delucideremo come semplificare una frazione parziale, con un procedimento scrupoloso ed attento.

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RACCOGLIMENTO PARZIALE DI UNA FRAZIONE: PRATICA.
Supponete di trovarvi di fronte alla seguente frazione parziale:
X^2 -2x + 37 / x^2-3x-40.
La regola prevede che il numeratore abbia sempre un grado inferiore rispetto al denominatore. Quindi, dividete il denominatore per il nominatore:
x^2-3x-40√ X^2 -2x + 37 = x + 3.
1 + x+3/ x^2-3x-40.
Avviate la scomposizione parziale della frazione. Dovete trovare due numeri che sommati danno -3 e moltiplicati danno -40. Sono -8 e +5.
1 + x+3 / (x +5) (x-8)
Scomponete in due frazioni e trovate il denominatore comune:
(a/ x +5) + (b/ x-8)
(a/ x +5) + (b/ x-8) = [ a (x-8) / (x +5) (x-8)] + [b (x+5) / (x +5) (x-8)].
1 + [x+3 / (x +5) (x-8)] = a (x-8) + b (x+5) /(x +5) (x-8)
Potete stabilire la seguente uguaglianza:
x + 3 = a (x-8) + b (x+5).
Se x =5:
-5 +3 = a (-5 - 8) + b (- 5+5).
-2 = -13a
a = 2/13
Se x = 8:
8 +3 = a (+8 – 8) + b (+8 +5)
11 = 13b
b = 11/13.
Non vi rimane che sostituire i valori all'intera frazione:
1 + (2/13) / (x +5) + (11/13) / (x-8)
Ed ecco che avete scomposto la frazione parziale.

RACCOGLIMENTO PARZIALE DI UNA FRAZIONE: TEORIA.
Chiarito il concetto di raccoglimento parziale, scomporre una frazione diventa un processo estremamente semplice. Dovete esaminare attentamente i valori della frazione, sia al nominatore che al denominatore, e ricercare i fattori comuni. Metteteli in evidenza e moltiplicate i restanti termini della frazione, chiudendoli tra parentesi. Con questo metodo, semplificherete la frazione, rendendola più fruibile.

RACCOGLIMENTO TOTALE E PARZIALE: DIFFERENZE.
Il raccoglimento a fattore comune si divide in totale e parziale. Nel primo caso, il coefficiente in comune è presente in ciascun termine dell’espressione.
Nell'espressione:
2ab + 6ac + 9 ad
il fattore comune è “a”.
a (2b + 6c + 9 d).
Mettendo in evidenza “a”, avete applicato un raccoglimento totale. Un raccoglimento parziale, invece, si può applicare soltanto ad alcuni termini dell’espressione algebrica:
9a+7ab - 18b+12bc
Come potete notare, i primi due termini hanno in comune la parte letterale “a”. Gli ultimi due hanno in comune “2b”.
Quindi:
a (9+7b) - 2b (9+6c).
Ecco applicato un raccoglimento parziale.

• Uno studio assiduo delle regole algebriche vi aiuterà a risolvere con facilità i problemi relativi alla scomposizione di una frazione parziale.

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