Come scomporre un quadrinomio di quarto grado

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida verrà spiegato come scomporre in fattori un particolare tipo di polinomio, detto quadrinomio. Un polinomio prende il nome di quadrinomio nel momento in cui esso è composto da quattro monomi non simili tra di loro. Lo definiremo "di quarto grado" poiché l'incognita con il grado più alto sarà appunto di grado quarto.Qui l'approfondimento sulla definizione.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Calcolatrice (opzionale)
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Prima di iniziare potrebbe essere utile fare un ripasso dei prodotti notevoli (approfondimento sui prodotti notevoli). Molti esercizi più che una diretta scomposizione richiedono solo l'applicazione di formule già esistenti come, per l'appunto, i prodotti notevoli. Argomenti come il Teorema di Ruffini o il Raccoglimento (Totale o Parziale) sono indispensabili per la scomposizione di qualsiasi polinomio. In questa guida utilizzeremo il Teorema di Ruffini dal momento in cui è di facile comprensione e di immediata applicazione, poiché non richiede conoscenze approfondite.

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Consideriamo il polinomio di quarto grado presente in figura. Cosa significa volerlo scomporre? Il nostro obbiettivo è quello di ottenere un polinomio equivalente a quello dato ma scritto in una forma primordiale. P (x) si annulla per x=-1. Quindi possiamo applicare il Teorema di Ruffini e ridurre di grado il polinomio iniziale. Nel caso tu ne avessi bisogno, ti spiego il veloce algoritmo da applicare: disegna una tabella come nell'immagine e scrivi in alto i coefficienti delle x e il termine noto. In basso a sinistra scrivi il valore per il quale il polinomio si annulla. Questo valore è quasi sempre un divisore del termine noto. Nel nostro caso è -1 ma andrebbe bene anche 2. Riporta il primo coefficiente in basso e moltiplicalo per -1. Scrivi il risultato e sommalo con il prossimo coefficiente. Nel nostro caso moltiplichiamo 1 per -1, il cui risultato è -1 che va sommato a -1 ottenendo -2. Ripeti il passaggio per i restanti termini fino ad ottenere 0 come risultato per il termine noto. Ricorda che il Teorema di Ruffini è applicabile a qualsiasi tipo di polinomio, che esso sia trinomio, quadrinomio e così via. Nel caso in cui dovesse mancare il coefficiente di una x, ti basterà scrivere 0 nel punto in cui manca. (Scomposizione con Ruffini).

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A questo punto, avendo trovato una radice del polinomio, possiamo riscriverlo secondo i nostri nuovi valori. In alcuni casi potrebbe essere necessario applicare più di una volta il Teorema di Ruffini. Nel nostro esempio infatti il polinomio è ancora di terzo grado e volendo è possibile ridurlo ulteriormente. Consideriamo unicamente il polinomio da ridurre e trascuriamo per un attimo (x+1). Applicando lo stesso algoritmo illustrato nel precedente passaggio otterrai il risultato desiderato. Ricorda che il Teorema di Ruffini è solo uno dei tanti modi possibili per scomporre un polinomio. Spesso basta applicare le regole dei prodotti notevoli o eseguire una messa in evidenza, passaggi sicuramente più sbrigativi del teorema.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Analizzare la traccia è un passo fondamentale per capire quale procedimento utilizzare
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