Come scomporre un binomio

In analisi matematica i polinomi sono combinazioni lineari ovvero delle entità che si formano mediante somma e prodotto di più termini. Come avrete potuto capire, se il polinomio è composto da soli due termini, allora lo chiameremo binomio, se è formato da tre termini, trinomio, quadrinomio e via di scorrendo. È importante avere prerequisiti fondamentali per lo svolgimento di tali esercizi e una buona padronanza di calcolo. È fondamentale inoltre la conoscenza del Massimo Comune Divisore (il più grande divisore comune dei numeri considerati). In questa guida vedremo a questo proposito alcuni consigli semplici ed intuitivi su come scomporre un binomio. Potrete notare che, a dispetto delle apparenze, si tratterà di un procedimento relativamente semplice a patto di possedere conoscenze matematiche di base. Con molto esercizio diventerà veloce ed automatico lo svolgimento di tali scomposizioni.

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I binomi sono combinazioni lineari di due termini. Ogni termine sarà provvisto di una potenza che ne indicherà il grado e, fra i due termini, quello con il grado più alto andrà a definire il tipo di binomio: se la potenza maggiore è uno, allora il binomio è di primo grado, se la potenza maggiore è due, allora il binomio sarà di secondo grado e così via.
Scomporre un binomio, in sostanza, vuol dire scriverlo come prodotto di termini minimi, cioè non più scomponibili. Nel caso di un binomio di primo grado, bisognerà controllare i coefficienti (numeri presenti davanti ai termini incogniti) e se essi sono multipli si potrà mettere in evidenza il massimo comune divisore dei due coefficienti. Il coefficiente privo di incognita si chiama termine noto. Proviamo ad effettuare un calcolo a titolo di esempio: prendiamo in considerazione il binomio: 6x + 2. Si deve fare il massimo comune divisore (M. C. D) tra 6 e 2, coefficienti del binomio. Il M. C. D. Tra i due numeri è 2. Sarà quindi il 2 il numero da mettere in evidenzia. Perciò, il binomio si potrà scomporre in: 2*(3x + 1). Per avere conferma di aver svolto correttamente l'esercizio si può svolgere il calcolo a ritroso e verificare la validità dello svolgimento.

Nel caso di un binomio di grado maggiore al primo, si potrà procedere come già fatto in precedenza, magari raggruppando anche il massimo comune divisore dei termini incogniti. A tal proposito ecco un ulteriore esempio: 6x^3 + 3x^2. In questo caso si possono mettere in evidenzia sia i coefficienti che i gradi dell'incognita. Il M. C. D tra 6 e 3 è 3, e si può mettere in evidenzia x^2.
3x^2(2x + 1) dove il binomio è di terzo grado e i termini hanno in comune sia 3 che x^2.
Nel caso in cui non sia possibile effettuare il raggruppamento totale, la scomposizione si può effettuare in maniera differente. Casi noti, a tal proposito, sono quelli di un binomio chiamato "differenza di quadrati" ovvero i due termini del binomio sono entrambi al quadrato e tra di essi vi è un segno meno.

Si fornisce di seguito un esempio di quanto appena enunciato:
x^2-1 => (x-1)(x+1) infatti sia x^2 che 1 rappresentano rispettivamente il quadrato di x e di 1. Come potete notare, per scomporre questo tipo di binomio, si dovrà scrivere un prodotto tra la somma e la differenza dei termini di primo grado.
Inoltre dovrete tenere ben presente che, se al posto del segno meno compare il segno più, il binomio precedente non è scomponibile; se fosse stato: x^2+1 avremmo avuto un binomio non scomponibile e strettamente positivo in quanto somma di due numeri certamente positivi (il quadrato di un numero è sempre positivo ed 1 è un numero positivo). Per tali ragioni il segno riveste un'importanza essenziale.
Così facendo, in modo semplice ed intuitivo, riuscirete a scomporre efficaciemente un polinomio.
Ricordatevi sempre, ad ogni modo, di ripassare tutte le regole di base prima di dedicarvi alla fase "operativa".

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