Come scomporre polinomi di terzo grado

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Difficoltà: media
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Introduzione

In quest'articolo spiegherò come scomporre un polinomio di terzo grado; cercherò di fornire utili strumenti e di dare chiarimenti con semplici esempi. Parto dalla considerazione che la scomposizione o fattorizzazione di un polinomio non sempre è un operazione eseguibile. Essa consiste nella scomposizione del polinomio di partenza nel prodotto di polinomi di grado inferiore.

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Il raccoglimento del fattore comune rappresenta un procedimento molto intuitivo per scomporre i polinomi. Nella sua estrema semplicità esso consiste nella possibilità di raccogliere tutti quei termini che hanno un elemento comune e la "messa in evidenza" di questi. Non sempre è applicabile questo metodo in quanto può essere che il polinomio in questione non abbia alcun termine comune da raccogliere. Prendiamo in considerazione questo polinomio di terzo grado: 3x^3+x^2-3x possiamo raccogliere solo il fattore comune x ed ottenere x (3x^2+x-3), non avendo altri fattori comuni.

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Utilizzare i prodotti notevoli rappresenta un'altra importante strada verso la scomposizione dei polinomi, specie se di terzo grado.
Riconsideriamo l'esempio che mostrato in precedenza; il polinomio originario è stato scomposto in un polinomio di grado uno moltiplicato per uno di grado due. Possiamo, però, scomporre ancora il polinomio di secondo grado; in che modo? Il termine tra le parentesi è un polinomio del tipo ax^2+bx+c. Esso si scompone in a (x-x1)(x-x2) dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata al polinomio. Capiterà spesso di dover sfruttare i prodotti notevoli dopo aver effettuato uno o più raccoglimenti a fattore comune. Per questo è importante imparare a riconoscere le situazioni in cui puoi sfruttare questi utili strumenti.

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Infine presentiamo la "Regola di Ruffini"; questo procedimento consente di scomporre qualsiasi polinomio, a prescindere dal suo grado. Consideriamo il polinomio P (x). Se esiste un numero tale che P (a)=0 allora il polinomio è divisibile per (x-a). Cosa significa che P (a)=0? Dobbiamo sostituire all'incognita del polinomio il valore che abbiamo assegnato ad "a" e verificare che la somma algebrica dei termini così ottenuti sia nulla.
Dalla divisione di P (x) con (x-a) otterremo il quoziente Q (x). Per cui P (x)=(x-a) Q (x). Qualora il quoziente si possa ancora scomporre, possiamo nuovamente applicare Ruffini o un altro dei metodi che abbiamo spiegato fino a raggiungere la scomposizione finale.

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