Come scomporre polinomi di terzo grado

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Questa guida ti aiuterà ad affrontare i polinomi e il procedimento della loro scomposizione con tranquillità e sicurezza. Come scomporre un polinomio (che in questa guida è d terzo grado) equivale, in pratica,a trasformare una somma di monomi, nel prodotto di polinomi di grado inferiore. Partendo da semplici definizioni di base, utilizzeremo esempi pratici per raggiungere l’obiettivo prefissatoci. Ricordiamoci che un polinomio è una somma di termini che contengono ciascuno una parte letterale (incognita) e una numerica (coefficiente) e che il grado di un polinomio avente un’unica incognita corrisponde all’esponente più grande dell’incognita stessa.
Inoltre bisogna tener presente che la scomposizione o fattorizzazione di un polinomio non è un’operazione sempre possibile. Vediamo i metodi più comuni.

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Raccoglimento a fattore comune

Il raccoglimento del fattore comune rappresenta un procedimento molto intuitivo per scomporre i polinomi. Nella sua estrema semplicità esso consiste nella possibilità di raccogliere tutti quei termini che hanno un elemento comune e la "messa in evidenza" di questi. Non sempre è applicabile questo metodo in quanto può essere che il polinomio in questione non abbia alcun termine comune da raccogliere. Prendiamo in considerazione questo polinomio di terzo grado: 3x^3+x^2-3x possiamo raccogliere solo il fattore comune x ed ottenere x (3x^2+x-3), non avendo altri fattori comuni.

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Prodotti notevoli

Utilizzare i prodotti notevoli rappresenta un'altra importante strada verso la scomposizione dei polinomi, specie se di terzo grado.
Riconsideriamo l'esempio mostrato in precedenza; il polinomio originario è stato scomposto in un polinomio di grado uno moltiplicato per uno di grado due. Possiamo, però, scomporre ancora il polinomio di secondo grado; in che modo? Il termine tra le parentesi è un polinomio del tipo ax^2+bx+c. Esso si scompone in a (x-x1)(x-x2) dove x1 e x2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata al polinomio. Capiterà spesso di dover sfruttare i prodotti notevoli dopo aver effettuato uno o più raccoglimenti a fattore comune. Per questo è importante imparare a riconoscere le situazioni in cui puoi sfruttare questi utili strumenti.

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Scomposizione di trinomi notevoli con somma e prodotto

Come abbiamo visto, la scomposizione di un polinomio di terzo grado viene effettuata per passi e quindi ci si ritrova a scomporre, in secondo passaggio, un polinomio di secondo grado. Per questo è importante riconoscere il seguente, particolare tipo di trinomio di secondo grado: x^2+sx+p per il quale è possibile trovare due numeri a1 e a2 tali che:
a1+a2 = s
a1 a2 = p
Questo trinomio può essere quindi scomposto nel seguente modo: x^2+sx+p = (x+a1)(x+a2)
Non per tutti i trinomi di secondo grado si possono trovare i numeri a1 e a2 con quelle caratteristiche.
Per esempio consideriamo x^2+5x+6
poiché esistono a1=3 e a2=2 tali che 3+2=5 e 3 2 =6 risulta:
x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)
.

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Regola di Ruffini

Infine presentiamo la "Regola di Ruffini"; questo procedimento consente di scomporre qualsiasi polinomio, a prescindere dal suo grado. Consideriamo il polinomio P (x). Se esiste un numero tale che P (a)=0 allora il polinomio è divisibile per (x-a). Cosa significa che P (a)=0? Dobbiamo sostituire all'incognita del polinomio il valore che abbiamo assegnato ad "a" e verificare che la somma algebrica dei termini così ottenuti sia nulla.
Dalla divisione di P (x) con (x-a) otterremo il quoziente Q (x). Per cui P (x)=(x-a) Q (x). Qualora il quoziente si possa ancora scomporre, possiamo nuovamente applicare Ruffini o un altro dei metodi che abbiamo spiegato fino a raggiungere la scomposizione finale.

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