Come scomporre con Ruffini

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Ruffini è uno degli argomenti più odiati da qualsiasi studente, sia esso di medie che di liceo, tuttavia è il metodo di scomposizione di un polinomio di grado "n" più generale possibile ed è indispensabile conoscerlo. In questa guida illustreremo come scomporre polinomi complessi con Ruffini ma anche quando è possibile evitare di utilizzarlo, prendendo comode "scorciatoie".

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Occorrente

  • Eserciziario di matematica
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Analisi del polinomio

Esistono due metodi per effettuare la scomposizione dei polinomi e questo è utile ricordarlo. Il primo metodo si ottiene attraverso i prodotti notevoli . Questi ultimi sono semplici da utilizzare quando siamo in presenza di un polinomio di secondo grado. Dopo questa prima "scrematura" è intuitivo pensare che Ruffini vada applicato a polinomi di grado 3 o superiore. Preliminarmente è importante conoscere il Teorema Fondamentale dell'Algebra, che semplicisticamente afferma che un polinomio P (x) di grado "n" ha "n" radici, ovvero esistono "n" numeri (che possono anche essere coincidenti" che annullano il polinomio. Un polinomio di secondo grado avrà due radici (se siamo in presenza di un quadrato di binomio ad esempio abbiamo due soluzioni coincidenti), uno di terzo grado ne avrà tre e così via. Analizziamo adesso la Regola di Ruffini.

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Presentazione della Regola

La Regola di Ruffini si avvale del Teorema Fondamentale dell'algebra nel seguente modo: bisogna individuare un numero "a" che sia radice del polinomio. Questo può essere fatto "per tentativi" sostituendo all'incognita i sottomultipli del termine noto (quello di grado "0", ovvero non moltiplicato per l'incognita). In questo modo si potrà applicare una regola che permette di abbassare di un grado il polinomio iniziale ed eventualmente iterare il processo. In matematica è fondamentale applicare ciò che si impara, quindi vediamo un esempio pratico.

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Esempio pratico

Ipotizziamo di avere un polinomio di grado 3 come P (x)=x^3+3x^2-4.
Cerchiamo un numero che annulli il nostro polinomio partendo dai più semplici. È ovvio che sostituendo x=1 il polinomio dà come risultato 0 (1^3+1^2-4=0). Abbiamo trovato che P (x) è divisibile per x=1 e quindi x-1=0. Adesso dobbiamo trovare un polinomio di grado n-1 (dove n=3) che chiamiamo Q (x) tale che risulti (x-1) Q (x)=P (x).
Per trovare Q (x) prepariamo una tabella che abbia 4 colonne e 3 righe. Nella prima riga andremo a scrivere in ordine: Il termine che annulla il polinomio e successivamente tutti i coefficienti del polinomio in ordine. Quindi prima il coefficiente di x^3 (1), quello di x^2 (3), quello di x (0) ed infine il termine noto -4.

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Risoluzione della tabella

A questo punto bisogna risolvere la tabella. Prendete il numero in seconda colonna, prima riga (il coefficiente di x^3) e scrivetelo nella stessa colonna, in terza riga. Questo numero andrà moltiplicato per la radice che abbiamo trovato inizialmente. Il prodotto andrà riscritto in terza colonna, seconda riga, e sommato al numero scritto in terza colonna, prima riga (nel nostro caso dobbiamo eseguire la somma 3+1=4). Il risultato andrà riportato in terza colonna, seconda riga. A questo punto moltiplichiamo di nuovo il numero ottenuto per la nostra radice e riportiamolo in quarta colonna, seconda riga (1x4=4) e sommiamo al coefficiente in terza colonna, prima riga ottenendo 4. Scriviamo il risultato in terza colonna, terza riga. Se tutto è andato bene, avremmo ottenuto i coefficienti del polinomio Q (x), in questo caso di secondo grado. Per verificare che l'operazione sia corretta, scriviamo l'ultimo numero che abbiamo ottenuto in quarta colonna, seconda riga e sommiamolo al termine noto di P (x). In questo caso -4+4=0, ovvero il resto del polinomio è nullo. Perfetto! Abbiamo trovato che x^3+3x^2-4=(x-1)(x^2+4x+4). Per terminare la fattorizzazione abbiamo due opzioni: reiterare Ruffini prendendo in esame il polinomio di secondo grado o, se abbiamo una vista abbastanza acuta, notare che Q (x) non è altro che un quadrato di binomio. Pertanto possiamo scrivere P (x)=(x-1)(x+2)^2Con la pratica applicare Ruffini diventerà un gioco da ragazzi.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricordiamo sempre che quando dobbiamo impostare la tabella dobbiamo indicare i coefficienti delle x^n che non compaiono (in questo caso 0)
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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