Come sapere se una funzione è limitata

Tramite: O2O 07/11/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Una funzione, in matematica, rappresenta una corrispondenza che collega gli elementi di due differenti insiemi. Data siffatta premessa, in questa guida passeremo ad illustrarvi le modalità attraverso le quali è possibile stabilire e sapere se una funzione è limitata. Per fare ciò, ci avvarremo di un esempio concreto e spiegheremo, passo dopo passo, quali operazioni è necessario svolgere per dimostrare la limitatezza o meno della funzione. Vediamo dunque come occorre procedere.

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Occorrente

  • Esempio pratico di funzione
  • Nozioni di matematica
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Valutate il valore del limite

Va innanzitutto specificato che, in generale, le funzioni di tipo oscillante sono sempre limitate, sia inferiormente che a livello superiore. Anche le funzioni che presentano asintoto orizzontale presentano la medesima caratteristica. In ogni caso, ciò che occorre fare per dimostrare la limitatezza di una funzione, è quello di studiare il limite per x->+inf e x->-inf e valutare se il valore che assume il limite è rappresentato da un numero. Qualora fosse un numero, vorrà dire che la retta di equazione y=l è un asintoto orizzontale. Ciò sta a significare che la funzione in oggetto tende verso la retta senza mai superarla. Qualora tendesse dall'alto, la funzione sarebbe dunque limitata inferiormente. Qualora tendesse al basso, sarebbe invece limitata superiore.

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Osservate numeratore e denominatore della funzione

Avvaliamoci ora di un esempio pratico per stabilire come e se una funzione si può definire limitata. Prendiamo dunque una funzione del tipo h(x)=1/(2^x+5). In questo caso, 2^x, come si vede, tende ad infinito. Da ciò si evince che l'intera funzione h(x) è tendente a 0. Perciò y=0 è senza dubbio un asintoto orizzontale. Si osservi inoltre che il numeratore ed il denominatore della funzione data, sono sempre positivi per tutti i valori di x. Dunque ciò significa che la funzione tende a 0 partendo dall'alto. Da ciò si comprende che la funzione è limitata nella parte inferiore.

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Calcolate il limite della funzione

Alla stessa conclusione si giungerà qualora si calcolasse il limite per x->-inf. Infatti 2^x tenderebbe a 0, dunque l'intera funzione tende a 1/5. Quindi, y=1/5 (asintoto orizzontale) e stavolta la funzione sarà limitata superiormente (in quanto 1/5 è sempre maggiore di 0). La funzione sarà dunque inscrivibile all'interno di un rettangolo che avrà come delimitazioni le due rette y=0 e y=1/5. Poiché la funzione è limitata sia a livello inferiore che a livello superiore, tale funzione si potrà in ogni caso definire sempre limitata. Ecco dunque confermato il procedimento da seguire per dimostrare che una funzione è limitata.

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