Come sapere se una funzione è limitata

Una funzione, in matematica, rappresenta una corrispondenza che collega gli elementi di due differenti insiemi. Data siffatta premessa, in questa guida passeremo ad illustrarvi le modalità attraverso le quali è possibile stabilire e sapere se una funzione è limitata. Per fare ciò, ci avvarremo di un esempio concreto e spiegheremo, passo dopo passo, quali operazioni è necessario svolgere per dimostrare la limitatezza o meno della funzione. Vediamo dunque come occorre procedere.

• Esempio pratico di funzione
• Nozioni di matematica

Va innanzitutto specificato che, in generale, le funzioni di tipo oscillante sono sempre limitate, sia inferiormente che a livello superiore. Anche le funzioni che presentano asintoto orizzontale presentano la medesima caratteristica. In ogni caso, ciò che occorre fare per dimostrare la limitatezza di una funzione, è quello di studiare il limite per x->+inf e x->-inf e valutare se il valore che assume il limite è rappresentato da un numero. Qualora fosse un numero, vorrà dire che la retta di equazione y=l è un asintoto orizzontale. Ciò sta a significare che la funzione in oggetto tende verso la retta senza mai superarla. Qualora tendesse dall'alto, la funzione sarebbe dunque limitata inferiormente. Qualora tendesse al basso, sarebbe invece limitata superiore.

Avvaliamoci ora di un esempio pratico per stabilire come e se una funzione si può definire limitata. Prendiamo dunque una funzione del tipo h(x)=1/(2^x+5). In questo caso, 2^x, come si vede, tende ad infinito. Da ciò si evince che l'intera funzione h(x) è tendente a 0. Perciò y=0 è senza dubbio un asintoto orizzontale. Si osservi inoltre che il numeratore ed il denominatore della funzione data, sono sempre positivi per tutti i valori di x. Dunque ciò significa che la funzione tende a 0 partendo dall'alto. Da ciò si comprende che la funzione è limitata nella parte inferiore.

Alla stessa conclusione si giungerà qualora si calcolasse il limite per x->-inf. Infatti 2^x tenderebbe a 0, dunque l'intera funzione tende a 1/5. Quindi, y=1/5 (asintoto orizzontale) e stavolta la funzione sarà limitata superiormente (in quanto 1/5 è sempre maggiore di 0). La funzione sarà dunque inscrivibile all'interno di un rettangolo che avrà come delimitazioni le due rette y=0 e y=1/5. Poiché la funzione è limitata sia a livello inferiore che a livello superiore, tale funzione si potrà in ogni caso definire sempre limitata. Ecco dunque confermato il procedimento da seguire per dimostrare che una funzione è limitata.

• Definizione di funzione matematica