Come risolvere un'equazione monomia in C

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica fa parte delle scienze in cui vengono studiate determinate materie, come ad esempio l'algebra (operazioni, espressioni ecc.) e la geometria (studio delle figure geometriche piane e solide, delle rette, dei segmenti, elle linee aperte, chiuse e spezzate e dei problemi). Lo studio dell'algebra è abbastanza complesso poiché vengono analizzati i binomi, i trinomi, le equazioni e le espressioni algebriche. Per studiare l'algebra è necessario avere delle basi buone della matematica elementare, come lo studio delle operazioni semplici (addizione, sottrazione, divisione e moltiplicazione) e inverse. In questa guida sarà illustrato come risolvere nella maniera corretta e in poco tempo un'equazione monomia in C.

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Coordinate polari

L'equazione da risolvere è del tipo z^n = K, dove K è un numero complesso. Per risolverla occorre utilizzare le coordinate polari, dunque innanzitutto si procede trasformando K (espresso convenzionalmente come K = a + ib) nella forma polare (p, O) con p numero reale e O angolo tra 0 e 2 pigreco. Per fare ciò, si utilizzano le classiche formule di trasformazione x=pcosO, y=psenO, ma in senso inverso, ovvero p=radice quadrata di (x^2 y^2), e O = arccos (x/p). Solitamente è possibile determinare a occhio p e O, a seconda della posizione sul piano di K.

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Soluzioni

Si ragiona nel seguente modo: le soluzioni sono dei numeri complessi (p1, O1)... (pn, On). Poiché deve valere z^n = K, allora (pi, Oi)^n = (p, O). Ricordando che le moltiplicazioni con coordinate polari funzionano come (p1, O1) (p2, O2) = (p1p2, O1 O2), si ottiene pi=radice ennesima di p (notare che questa è un'operazione su due numeri reali, dunque che sappiamo risolvere, ricordando che p è definito positivo), e invece Oi=O/n più 2kpi/n. Otteniamo dunque n valori distinti di O (ricordando che non può superare 2 pigreco). Di seguito riportiamo un esempio pratico per capire intuitivamente quanto descritto in modo teorico.

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Teorema

Vediamo come risolvere la seguente equazione: z^4 = -16. Innanzitutto osserviamo che 16 = 16 + i0, mentre in coordinate polari si scrive come (-16, pigreco). Allora le soluzioni saranno: p=radice quarta di 16 = 2, e O=pigreco/4 + k per pigreco/2, al variare di k tra 0 e 3. Ovvero O=pigreco/4 (k=0), O=3pigreco/4 (k=1), O=5pigreco/4 (k=2), O=7pigreco/4 (k=3). In accordo con il teorema fondamentale dell'algebra abbiamo ricavato le quattro soluzioni. In ogni caso osserviamo che per k=4 si ottiene un valore di O maggiore di 2pigreco, che va contro la definizione di O).

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