Come risolvere un'equazione esponenziale

A prima vista, un'equazione esponenziale potrebbe apparire un qualcosa di estremamente complicato ed impossibile da risolvere. Tuttavia è sufficiente conoscere alcune importanti proprietà delle potenze, per risolvere senza problemi questo tipo di esercizi. A questo proposito, nella presente guida, vi accorgerete che quello che potrebbe apparire impossibile da risolvere, si rivelerà di una facilità disarmante. Infatti, nei seguenti passi di questa breve guida, vi spiegheremo come risolvere un'equazione esponenziale in maniera corretta. Vediamo, pertanto, come bisogna procedere.

• Conoscenze matematiche di base

Per prima cosa, diciamo subito che un'equazione esponenziale consiste in un'equazione nella quale l'incognita x si trova come esponente di una qualsiasi base. Per trattarle è necessario conoscere tutte le principali proprietà delle potenze. In questa guida, verrà utilizzato questo tipo di notazione: 2^2 , 3^4 , 5^2. Queste si leggeranno, rispettivamente, "due alla seconda","tre alla quarta","cinque alla seconda". Nel caso in cui questo tipo di scrittura risulterà essere leggermente confusionaria, il nostro consiglio è quello di riscrivere gli esempi mostrati con la normale notazione, in modo tale da comprenderli nel migliore dei modi. A questo punto possiamo introdurre il concetto di prodotto di potenze. In definitiva, il prodotto di due potenze di base uguale, rappresenta una potenza che ha per base la medesima base e come esponente la somma degli esponenti (ad esempio, 2^2 per 2^3 = 2^2 + 3 = 2^5).

Ora, invece, parliamo di divisione tra le potenze. Il quoziente tra due potenze di base uguale è dato da una potenza che presenta per base la medesima base, e come esponente la differenza degli esponenti (ad esempio, 2^4 diviso 2^2 = 2^4 - 2 = 2^2). Vediamo, ora, cosa si intende per potenza di potenza. Nel caso in cui una potenza intera (quindi base più esponente) sia elevata a sua volta a potenza, il risultato sarà dato da una potenza con base uguale, e come esponente il prodotto degli esponenti [ad esempio, (2^2)^3 = 2^2 per 3 = 2^6]. Successivamente vedremo come si può trasformare una radice in potenza. Un numero sotto radice può essere trasformato in una potenza che ha per base quel numero, e per esponente un numero fratto, in cui al denominatore è presente l'indice della radice, mentre al numeratore si trova l'esponente del numero iniziale (ad esempio la radice quadrata di 3 = 3^1/2).

A questo punto, avete acquisito tutte quante le competenze di base per risolvere la propria equazione esponenziale. Il metodo maggiormente utilizzato per risolverle consiste nel trasformare le potenze delle propria equazione, in modo tale che abbiano tutte la medesima base. Facciamo qualche breve esempio per comprendere il tutto nel migliore dei modi. (3^x per 9^x + 1) - 3^3 = 0, considerando che 9 è risultato di 3 elevato a potenza, sarà possibile scrivere delle potenze di potenze, ossia (3^x per 3^2x +2) - 3^3 = 0. Tra l'altro, avendo le potenze all'interno delle parentesi, sarà anche possibile ottenere il prodotto: 3^3x + 2 - 3^3 = 0. Si deve porre l'uguaglianza tra le due potenze, passando una delle due all'altro membro: 3^3x + 2 = 3^3. A questo punto, dal momento che l'uguaglianza delle basi implica l'uguaglianza degli esponenti, si devono porre gli esponenti uno uguale all'altro: 3x = 3, da cui deriva che x = 3/3 = 1.

• Equazioni esponenziali.
• Proprietà fondamentali delle potenze.