Come risolvere una successione numerica

Una successione numerica è una successione ordinata di numeri di varia natura. Si possono avere successioni reali, complesse, a valori vettoriali, aritmetiche o geometriche. Gli ultimi due tipi sono i più comuni e i più facili da risolvere. Nel primo caso, infatti, la serie necessita soltanto di operazioni veloci come addizioni e sottrazioni. Nel secondo c'è bisogno di utilizzare operazioni non lineari quali moltiplicazioni e divisioni. Anche la serie esponenziale rientra tra quelle più diffuse. In questo caso, il valore dell'operazione cresce o decresce in base al valore delle potenze o dell'estrazione di radice. In questa guida vedremo come risolvere una successione numerica in diverse situazioni.

La successione numerica ha un funzionamento piuttosto semplice. Una volta individuata la ragione della serie, se questa è costante, si possono generare catene di numeri all'infinito. Prendiamo per esempio la serie numerica 2 4 6 8 10... (+2). È chiaro che si tratta di una serie in cui basta aggiungere ogni volta due numeri per andare avanti.
Le cose si complicano leggermente soltanto nel caso in cui la ragione della successione è variabile. Nella serie 2 4 7 11 16 siamo davanti a una ragione di successione crescente. Qui, infatti, bisogna aggiungere ogni volta un numero in più rispetto al precedente. Il primo, quindi, sarà 2, poi seguiranno 3, 4 e via dicendo.

La successione geometrica, come abbiamo visto, utilizza operazioni non lineari: moltiplicazioni e divisioni. Prendiamo, ad esempio, la serie 2 4 8 16 32 ecc. In questo caso la ragione della successione sarà la moltiplicazione x2, per cui ogni numero dovrà essere raddoppiato. La stessa cosa, però, si potrebbe fare anche con una divisione di qualsiasi numero se partissimo da una somma più grande. Queste due tipologie di successioni numeriche non sono particolarmente complesse, ma costituiscono la base per qualsiasi operazione avanzata.

La successione esponenziale si serve della potenza o dell'estrazione di radice. Prendiamo, per esempio, la serie 2 4 16 256. In questo caso, ogni numero verrà elevato a seconda del numero che lo precede. Vedremo, quindi, che 2 elevato alla seconda ci darà 4; 4 alla quarta ci darà 16 e via dicendo. I metodi che abbiamo esaminato finora sono rappresentazioni per enumerazione o elencazione. Esistono anche altri tipi di rappresentazione e sono quelli analitici e ricorsivi. Nel primo caso si conoscono già dal principio i termini della successione. Nel secondo, invece, è possibile ricavarli a partire dai termini precedenti.

• Teorema di esistenza del limite di successioni monotone: dimostrazione