Come risolvere una proporzione continua in matematica

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica la proporzione indica il rapporto tra due coppie di numeri che, una volta risolte, danno luogo ad una identità. Il primo termine di ogni coppia viene denominato antecedente ed il secondo conseguente, abbiamo quindi due antecedenti e due conseguenti. Se volessimo, però, denominarli in base all'ordine di scrittura possiamo anche parlare di primo termine, secondo termine, terzo e quarto termine. Rispetto, inoltre, alla loro posizione reciproca sono estremi i due numeri esterni e quelli medi i due al centro. Una proporzione continua è quella in cui i medi sono identici cioè sono la stessa incognita, x per esempio. Riconoscerla è semplice, ma poi come affrontarla? Vediamo come risolvere una proporzione continua in matematica.

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Occorrente

  • proporzione continua
  • conoscere le proprietà delle proporzioni
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Definiamo cos'è una proporzione

Prendiamo una proporzione del tipo 8: 4= x : 10. La parte numerica (numero naturale o frazione) si chiama termine noto. Per la soluzione si ricorre alla proprietà fondamentale delle proporzioni, la quale afferma che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi (tale affermazione si ricava immediatamente dalla definizione e dimostrato attraverso la proprietà fondamentale). Si osservi che gli estremi sono il primo e l'ultimo numero, mentre i medi sono il secondo ed il terzo. In formula se la proporzione è a: b = c: d avremo che a per d = b per c. Ad esempio nella proporzione 16 : 8 = 6 : 3, gli elementi estremi sono 16 e 3, mentre gli elementi medi sono 8 e 6. È infatti immediato verificare che 16 moltiplicato per 3 = 48 così come 6 moltiplicato per 8 = 48. Lo stesso ragionamento avviene nel caso in cui i termini noti siano delle frazioni, si dovrà effettuare il prodotto tra loro rispettando la moltiplicazione di numeratore per numeratore, quindi, denominatore per denominatore. Ad esempio: 12/3: 3/4=12/3:3/4 si moltiplichino i numeratori dei medi e si ottiene 36; i denominatori dei medi si ottiene 12. Il prodotto dei numeratori degli estremi è 36, quello dei relativi denominatori è 12. Si noti che abbiamo due identità, quindi, la proprietà è valida anche nel caso si debba trattare delle frazioni. Non cambia nulla!

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Affrontiamo la proporzione continua

">È già stata definita, in apertura, cosa sia una proporzione continua. Venendo all'applicazione concreta della teoria, quindi, alla sostanza del discorso abbiamo, per esempio: 9: x = x : 4 è una proporzione continua. Oppure 3/8: x= x: 12/8. Si osservi come gli estremi possono essere dei numeri naturali oppure frazioni, uguali o diversi (come in questi casi). Per risolvere tale proporzione si applica la proprietà fondamentale, secondo la quale il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, da cui si ricava che x moltiplicato per x = 3 per 12. Di conseguenza troviamo che x elevato alla seconda (o al quadrato che dir si voglia) = 36. A questo punto, estraiamo la radice quadrata di 36 ed otteniamo che x = 6.

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Applichiamo le proprietà

Può certamente accadere anche che ci si trovi di fronte ad un proporzione nella quale le due incognite non sono i medi, come ad esempio x : 8 = 18: x. In questo caso, per risolvere correttamente si dovrà ridurre la proporzione in continua cioè trasformarla in essa. Si dovrà solamente fare in modo che le nostre x diventino medi, attraverso l'applicazione in prima istanza della proprietà dell'invertire, cioè occorrerà spostare i termini della proporzione ottenendo 8: x = x : 18. A questo punto si potrà proseguire nella modalità spiegata in precedenza, cioè moltiplicando x per x e 18 per 8. Otterremo che x alla seconda = 144, e ponendo entrambi sotto radice avremo x = 12. Capire e risolvere una proporzione continua è semplice, se già si padroneggia e di è interiorizzata la definizione di proporzione, se si conoscono e sanno applicare le relative proprietà. Non solo, occorre sapere cosa sono l'elevamento a potenza e la radice quadrata. Questi sono i pre-requisiti propedeutici ed indispensabili per il passo successivo, quello delle proporzioni continue.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nei problemi che vengono solitamente posti negli esercizi scolastici uno dei quattro termini della proporzione non è noto e viene perciò indicato con il simbolo x; sarà di conseguenza compito dello studente scoprire qual è il valore dell'incognita.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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