Come risolvere una matrice con il metodo di Kramer

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il metodo di Cramer, o regola di Cramer, a volte anche metodo o regola di Kramer, è un procedimento inventato dal matematico Gabriel Cramer nel XVIII secolo che può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni lineari. Più precisamente, il metodo di Cramer può essere direttamente applicato quando ho un sistema che ha il numero di equazioni uguale al numero di incognite.
Avendo quindi un sistema di N equazioni in N incognite, ad esempio due equazioni che hanno due incognite X e Y, possiamo rappresentare tramite una matrice l'intero sistema e applicare il metodo di Cramer come si vedrà fra poco. Il procedimento generale può essere riassunto in questi passi:
1) Si rappresenta il sistema in forma matriciale, spostando a destra del segno uguale i termini noti.
2) A questo punto si ha una matrice formata da una matrice dei coefficienti, che comprende le incognite, e un vettore colonna che comprende i termini noti.
3) La matrice dei coefficienti è una matrice quadrata, con N righe e N colonne. Questo ci permette di calcolarne il determinante, che chiameremo "D".
3) Sostituendo alle colonne delle incognite il vettore dei termini noti, possiamo calcolare i determinanti delle varie incognite, che chiameremo ad esempio "Dx" e "Dy" nel caso di due incognite.
4) Dividendo i determinanti delle incognite con il determinante "D" otteniamo le diverse soluzioni per le incognite. Ad esempio, per trovare l'incognita X si procede in questo modo: x = Dx / D.

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Occorrente

  • Calcolatrice.
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Esempio: matrice e calcolo del determinante

Iniziamo con un semplice esempio. Si ipotizzi un sistema di questo tipo:
2x - y + 6 = 0x - 4y = -10
Il primo passo è trasportare i termini noti a destra del segno "=", quindi ottengo:
2x - y = -6x - 4y = -10
Ora che ho il sistema nella forma desiderata, posso rappresentarlo tramite una matrice che chiamerò "A" e calcolare il determinante "D":
| 2 -1 -6 |A = | 1 -4 -10 |
Notare che le prime due colonne sono i coefficienti delle incognite, mentre l'ultima colonna è il vettore dei termini noti (tutto quello che era a destra dell'uguale). Quindi, la matrice completa A è formata da una matrice dei coefficienti e dal vettore colonna dei termini noti. Il mio sistema non è cambiato: ho solo deciso di rappresentarlo tramite una matrice.
Per calcolare il determinante ho bisogno di una matrice quadrata. In effetti quello che mi interessa per il calcolo del determinante è la matrice dei coefficienti, che chiameremo "Ac", che è una matrice quadrata:
| 2 -1 |Ac = | 1 -4 |
È una matrice 2x2, quindi il determinante si trova semplicemente calcolando:
D = ac (1,1) * ac (2,2) - ac (2,1) * ac (1,2) = 2 * (-4) - 1 * (-1) = -8 - (-1) = -7
Nel passo 2 calcoleremo i determinanti delle incognite e troveremo le soluzioni del sistema.

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Esempio: calcolo determinanti delle incognite e soluzioni

Nel passo precedente, abbiamo trasportato il sistema a matrice e abbiamo calcolato il determinante "D" della matrice dei coefficienti. Adesso si vedrà uno dei punti cardine del metodo di Cramer. La situazione finora è la seguente:
| 2 -1 -6 |A = | 1 -4 -10 |
| 2 -1 |Ac =| 1 -4 |
D = -7
Andiamo adesso a calcolare i determinanti delle incognite X e Y, che chiameremo rispettivamente"Dx" e "Dy". Per calcolare "Dx" andiamo a sostituire nella matrice dei coefficienti il vettore dei termini noti. La colonna da sostituire è quella in cui si trovano i coefficienti dell'incognita X. Nella matrice completa A la colonna che ci interessa è la prima, perché si trovano lì i coefficienti dell'incognita X, quindi sostituiamo i termini noti alla prima colonna e creiamo una nuova matrice che chiamiamo "Ax":
| -6 -1 |Ax =| -10 -4 |
Anche Ax è una matrice quadrata 2x2, quindi possiamo calcolare il determinante seguendo lo stesso metodo usato per il determinante "D":
Dx = ax (1,1) * ax (2,2) - ax (2,1) * ax (1,2) = (-6) * (-4) - (-10) * (-1) = 24 - 10 = 14

A questo punto, abbiamo i determinanti "D" e "Dx". Manca però il determinante relativo all'incognita Y, che possiamo trovare ripetendo il procedimento appena visto. Siccome la colonna dei coefficienti per l'incognita Y è la seconda, sostituiamo alla seconda colonna di "Ac" il vettore dei termini noti, ottenendo una nuova matrice "Ay":
| 2 -6 |Ay = | 1 -10 |
Anche questa è una matrice quadrata 2x2, quindi ripetiamo il procedimento per il calcolo del determinante:
Dy = ay (1,1) * ay (2,2) - ay (2,1) * ay (1,2) = 2 * (-10) - 1 * (-6) = -20 - (-6) = -14
Nel terzo ed ultimo passo vedremo come trovare le soluzioni, e faremo qualche riflessione su questo metodo di risoluzione.

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Esempio: soluzioni del sistema e conclusioni

Nei passi precedenti, abbiamo rappresentato il sistema in forma matriciale e questo ci ha consentito di ricavare alcune matrici quadrate che abbiamo usato per trovare il determinante. Il metodo di risoluzione di Cramer si basa sull'utilizzo dei determinanti per trovare le soluzioni del sistema. La nostra situazione è la seguente:
D = -7Dx = 14Dy = -14
Siamo pronti a trovare le soluzioni del sistema. In generale, per trovare il valore di una certa incognita è necessario dividere il determinante di quella incognita con il determinante della matrice dei coefficienti. Quindi, per trovare le incognite sarà necessario eseguire queste operazioni:
x = Dx / D = 14 / -7 = -2y = Dy / D = -14 / -7 = 2
Quindi, X = -2 e Y = 2 sono le soluzioni del sistema.
In questo piccolo esempio abbiamo visto l'applicazione del metodo di Cramer a una matrice 2x2. Attenzione, la matrice non è 2x3 perché quello che ci interessa non è la matrice completa A ma la matrice dei coefficienti Ac che abbiamo visto all'inizio. È su quella matrice che andremo a sostituire il vettore colonna dei termini noti.
Se avessi un sistema 3x3, quindi con tre equazioni e tre incognite, il procedimento sarebbe il medesimo. Cambierebbero però alcune cose: il calcolo del determinante lo dovrei fare utilizzando un altro metodo adatto alle matrici 3x3, ad esempio la regola di Sarrus. Dovrei anche calcolare un terzo determinante e avrei una terza incognita da trovare.
Più in generale, quando si ha un sistema lineare con N equazioni ed N incognite può essere applicato il metodo di Cramer, quindi è possibile anche con matrici quadrate ben più grandi di quella vista in esempio.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fare molti esercizi e capire bene le definizioni di ogni singolo termine visto.
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