Come risolvere una equazione diofantea

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un'equazione diofantea è un'equazione algebrica in una o più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Prende il nome dal matematico Diofanto, vissuto nel III secolo d. C., noto per l'epitaffio che permette di calcolare l'età della sua morte tramite la risoluzione di un'equazione da decifrare. Esponiamo ora come risolvere una equazione diofantea di primo grado in due incognite.

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Esiste un metodo noto come algoritmo di Euclide che permette di risolvere un'equazione diofantea di tipo lineare ax+by=c dove a, b e c sono numeri interi. Non tutte le equazioni di questo tipo hanno soluzioni. Ad esempio possiamo affermare con certezza che per la seguente 4x+10y=3 non esistono soluzioni intere poiché la parte sinistra è sempre pari e la parte destra è dispari.

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Il criterio che decreta l'esistenza di soluzioni è noto come teorema di Bezout: detto d=MCD (a, b), il termine noto c dovrà essere scomponibile nella forma c=kd ovvero c dovrà essere un multiplo di d o equivalentemente è necessario che d divida c.

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A questo punto è necessario trovare il massimo comune divisore tra a e b tramite l'algoritmo euclideo delle divisioni successive: se a>b, si parte eseguendo la divisione a: b. Si procede dividendo b per il resto della prima divisione e così a seguire, fino ad arrivare all'ultimo resto non nullo che corrisponde al risultato della nostra ricerca.

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Riscriviamo la sequenza di operazioni nella forma indicata dal teorema di divisione euclidea a=bq+r dove q ed r indicano rispettivamente quoziente e resto. Isoliamo i resti per ciascuna uguaglianza r=a-bq. Partendo dall'ultima espressione procediamo a ritroso sostituendo tutti i resti ottenuti dalle precedenti divisioni fino ad ottenere una combinazione lineare di a e b. Moltiplico ambo i membri per c e trovo le soluzioni particolari che soddisfano la mia equazione diofantea di partenza.

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Tale soluzione non è unica: ne esistono infinite! Per determinarne altre o semplicemente per indicarle, è sufficiente applicare la formula x=u+br/d e y=v-ar/d dove la coppia (u, v) denota la soluzione particolare trovata con l'algoritmo, d=MCD (a, b) e r è un qualsiasi numero relativo.

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Infine possiamo concludere con una curiosità. Esistono delle equazione diofantee famose in tre incognite del tipo a^2+b^2=c^2 le cui soluzioni intere possono essere considerate le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo. La classica soluzione è data da a=3, b=4, c=5. Solo una decina di anni fa è stato scoperto che l'equazione è priva di soluzioni intere se sostituiamo all'esponente 2 un qualsiasi altro numero maggiore di 2. Questo risultato è noto come Teorema di Fermat.

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