Come risolvere una equazione alle derivate parziali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica non è un'opinione, diceva qualcuno! In effetti, se c'è qualcosa di preciso, rigoroso e non opinabile, questa è proprio la matematica, scienza univoca ed esatta. Se siete degli studenti di matematica, di fisica o di una delle numerose facoltà universitarie scientifiche approvate dal nostro ministero dell'Istruzione, Università e Ricerca (MIUR), vi sarà capitato almeno una volta di imbattervi in una equazione alle derivate parziali.
In questa mini guida vedremo insieme come risolvere passo passo una equazione alle derivate parziali.

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Occorrente

  • conoscenze matematiche
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Le PDE (Equazioni derivate parziali, dall'acronimo inglese Partial Differential Equation) sono equazioni che relazionano funzioni incognite dipendenti da due o più variabili indipendenti, alle sue derivate parziali rispetto a queste variabili.
Questa definizione probabilmente non chiarisce nel migliore dei modi il concetto delle equazioni derivate parziali, ma ci basterà sapere che esse hanno l'utilità di descrivere in modo molto dettagliato e accurato determinati fenomeni naturali. Alcuni fenomeni che avvengono in natura infatti, dipendono da diverse variabili indipendenti (solitamente posizione e tempo): in questo caso è necessario utilizzare un modello differenziale alle derivate parziali perché il fenomeno sia descritto esaustivamente.

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Le PDE sono utilizzate in diversi campi quali l'elettrostatica, elettro o aerodinamica, geometria differenziale, relatività e molti altri. Sono utilizzate per risolvere problemi come la propagazione di suono o calore in un dato spazio e anche, ultimamente, in medicina e biologia per descrivere fenomeni come la crescita e lo sviluppo delle cellule in vari tipi di tumori.

Continua la lettura
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Un'equazione differenziale alle derivate parziali di ordine K ha la forma




in cui è K è un numero intero e la variabile X appartiene ad un sottoinsieme U di R. La funzione F è data, mentre la funzione U è l'incognita dell'equazione. Per risolvere un'equazione alle derivate parziali occorre quindi trovare l'incognita U. Nella maggior parte dei casi, trovare il valore esplicito dell'incognita U non è possibile: la soluzione sta nello studio dell'esistenza e delle proprietà che U deve o dovrà assumere.
SI può quindi affermare che la soluzione di un'equazione alle derivate parziali non può essere univoca, perché non possiede delle caratteristiche generali ma varia a seconda del problema. Informalmente, la soluzione di una PDE di ordine K è una funzione differenziabile fino all'ordine k-esimo, per cui tutte le derivate esistono e sono continue. Risolvere una PDE in senso classico significa dunque cercare una funzione liscia o almeno di classe C elevato alla K.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • spesso le PDE sono rappresentate utilizzando determinati operatori differenziali tra cui il Gradiente di U, la divergenza e il Laplaciano

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