Come risolvere una disequazione parametrica

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Sebbene a prima vista quella dei parametri nelle disequazioni potrebbe sembrare una complicazione ulteriore di un argomento già ostico, in realtà apre la via alla loro semplificazione. Spesso i numeri veri sono fonte di errori anche molto insidiosi e si preferisce non usarli, altre volte, invece si preferisce l'impiego di parametri per poter avere un margine di manovra quando si intende applicare la formula anche in altri contesti.Le formule della fisica e dell'ingegneria, per esempio sono tutte necessariamente parametriche perché dipendono dalle condizioni ambientali che non sono prevedibili. D'altronde la famosa formula per le radici delle equazioni di secondo grado contiene un'incognita e ben tre parametri e se ne capisce l'utilità. Con questa guida vedremo quindi come risolvere una disequazione parametrica.

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Occorrente

  • Conoscenze di base in matematica
  • Disequazione parametrica da risolvere
  • Carta
  • Matita
  • Gomma per cancellare
  • Calcolatrice
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Approccio alla risoluzione

La risoluzione di una equazione o disequazione con parametri segue le stesse identiche regole che si impiegano per quelle ordinarie. SI trovano radici, campi di esistenza, segni e quant'altro, sempre lasciando i parametri non esplicitati. A questo punto viene la parte delicata. Non avendo grosse informazioni sui valori dei parametri, si deve iniziare con alcune considerazioni. Ogni parametro introduce un grado di libertà, quindi spesso si devono anche studiare le relazioni fra i parametri. Una piccola variazione di uno dei termini variabili può determinare grandi differenze nelle soluzioni, ed in generale non c'è una regola singola. La regola vuole che se possibile i parametri devono essere ridotti al numero minimo possibile tramite accorpamento seguendo le regole algebriche ordinarie e le proprietà delle disequazioni. La via migliore per capire come approcciarsi è l'uso degli esempi.

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Esempi con un parametro

Iniziano con una disequazione elementare x+1>a dove a è il parametro. L'equazione si riscrive come x+1-a>0. Otteniamo infine x>a-1. Se a>1 x>0 altrimenti x<0. Questo esempio di per se è poco utile, ma introduce il problema. Supponiamo il caso a*x^2>1, una disequazione semplice parametrica che ci riporta a -1/sqrt(a)1/sqrt(a). Se a=0 le radici perdono di significato, così come per a<0, altrimenti si tratta di un domino parabolico. Da notare che il dominio però si allarga o si restringe in funzione del parametro a, il cui valore diventa quindi piuttosto interessante se la disequazione è parte di un sistema. Anche il segno del parametro ha la sua importanza, visto che ci indica la direzione della concavità della parabola.

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Esempio con due parametri

Supponiamo adesso di avere due parametri e l'espressione x^2+a*x+b>0. Studiamo il delta=(a^2-4*b). In questo caso la relazione fra i due parametri è ampia, ma perché si abbiano radici dobbiamo avere a<-2sqrt(b) e a>2sqrt(b). Nel caso in cui a=+/-2sqrt(b) avremmo radici uguali e coincidenti. I parametri in questo caso regolano non solo la posizione delle eventuali radici, ma anche ovviamente la centratura della parabola, il suo fuco e la direttrice. Va da se che controllando i parametri si può per esempio relazionare la figura rispetto ad una retta o ad altri vincoli. Supponiamo invece di avere a*x+b>0, cioè una disequazione associabile ad una retta. I parametri qua ci forniscono il coefficiente angolare, per esempio, e al variare del segno relativo ci danno rette con direzioni ben differenti, e di conseguenza la disequazione definisce semipiani molto diversi fra loro.

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