Come risolvere una disequazione irrazionale fratta

Le disequazioni irrazionali fratte, purtroppo per gli studenti sono una parte importante del programma di studi e devono essere affrontate. Si tratta di disequazioni fratte in cui al numeratore o al denominatore non troviamo semplici polinomi, ma espressioni irrazionali, che devono essere studiate ed analizzate con mezzi opportuni per poter trovare le radici e i semipiani delle soluzioni. Con questa guida vedremo come orientarsi nella soluzione di questo tipo di disequazioni, cercando di capire passo dopo passo come ci si deve comportare nelle parti che richiedono stime sui domini. Una disequazione fratta sembra difficile da risolvere ma con l'approccio giusto non è un grosso problema e si risolve spesso in maniera facile.

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Il denominatore è la parte più pericolosa nelle disequazioni fratte e quindi deve essere studiato per primo. Per prima cosa si deve controllare se ha o meno radici, nel qual caso devono essere segnate a parte nella così detta lista dei valori proibiti, cioè di tutti quei numeri che se sostituiti all'interno dell'equazione ci danno un comportamento non accettabile. In corrispondenza dei valori proibiti, infatti troviamo asintoti o parti non definite. Fatto questo si deve tracciare il diagramma dei segni del denominatore che si studia convenzionalmente positivo. Si potrebbe anche studiarlo negativo, ma questo complicherebbe e basta i calcoli dovendo poi invertire tutti i valori.

Il numeratore, a differenza del denominatore si studia in forma estesa perché da esso dipendono le radici della disequazione. Se ne devono trovare le radici, cioè i valori che lo rendono nullo, e il dominio, con particolare attenzione al calcolo di tutti i valori che per esempio rendono prive di senso le eventuali radici di ordine pari che possono essere presenti nel denominatore o altre funzioni non definite su tutti i reali. Verificato che le radici del numerare non violano le condizioni sul denominatore si passa al tracciamento del suo diagramma dei segni, studiandolo per convenzione positivo. Può essere utile un tracciamento con linee continue per i valori positivi e tratteggiate per i negativi.

Una volta determinati i diagrammi dei segni per numeratore e denominatore si devono sovrapporli e studiarle le zone di concordanza e discordanza. In questa maniera si determinano tutti i valori dell'incognita che soddisfano la disequazione e si può considerare concluso il problema, tracciando il relativo diagramma. Ricordiamo che segni concordi di denominatore e numeratore danno risultato positivo, segni discordi negativo, numeratore nullo esito nullo e denominatore nullo esito non accettabile. Il diagramma è indispensabile per trarre le conclusioni in maniera leggibile.

Per riuscire a calcolare le radici di equazioni irrazionali associate al problema, si deve seguire un iter specifico piuttosto semplice. Per prima cosa si calcola l'insieme dei valori per i quali le eventuali radici di ordine pari, come le radici quadrate, perdono significato, oltre naturalmente a tutte le eventuali funzioni non definite su tutti i reali. Fatto questo, si pone il termine, numerare o denominatore uguale a zero e si cerca di eliminare le radici o i termini scomodi con trucchi ed espedienti algebrici, solo a questo punto si può affrontare la soluzione del calcolo del dominio e dei risultati della disequazione irrazionale fratta.

• Effettuate un ripasso delle disequazioni per approcciarvi al meglio verso questa categoria di formula matematica.
• Per i calcoli più complicati, annotate il tutto su un foglio.

• Risoluzione di una disequazione irrazionale fratta
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