Come risolvere una disequazione fratta con valore assoluto

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Difficoltà: media
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Introduzione

Le disequazioni, al pari delle equazioni, forniscono uno strumento irrinunciabile, perché permettono di studiare - e risolvere - molti problemi della matematica: dai più banali ai più complessi. Una disequazione, viene definita tale, quando in una disuguaglianza tra due espressioni, figurano una o più lettere, dette incognite. Una disequazione, in cui l'incognita compare al denominatore di qualche frazione, si dice fratta, o anche razionale fratta. Le incognite, oltre che al denominatore, possono eventualmente, comparire anche a numeratore, ed in essa può essere anche presente un valore assoluto. In questa guida, con pochi e semplici passaggi, vi illustrerò come risolvere questo importante tipo di disequazione fratta, dandovi qualche dritta per ridurre al minimo le probabilità di fare confusione! Vediamo quindi come procedere.

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La prima cosa da fare quando l'incognita compare al denominatore, è discutere le condizioni di esistenza e determinare l'insieme di valori per cui il denominatore non si annulla. Ricordatevi infatti che, ad esempio, non è possibile dividere per zero. Una volta fatto questo la risoluzione della disequazione fratta si riduce al confronto di due disequazioni non fratte. Una disequazione fratta si può scrivere, per esempio, nella seguente forma: f (x)/g (x)>0, dove f (x) e g (x) sono sue polinomi nella variabile x. Nel caso qui sopra mostrato, nei due sistemi, f (x) e g (x) assumono valori dello stesso segno. La risoluzione di una disequazione fratta con valore assoluto prevede un ulteriore sdoppiamento.

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Per valore assoluto di un numero a (indicato con il simbolo |a|) si intende il numero stesso, se questo è positivo o nullo, oppure l'opposto, se esso è negativo, cioè |a| = a, se a è >= 0, |a| = -a, se a<0. In virtù di questa definizione, una disequazione in cui è presente il valore assoluto è equivalente a un sistema. Se con C (x) si indica il quoziente di due polinomi e con a un numero positivo, la disequazione |C (x)| < a è soddisfatta per quei valori della x che rendono C (x) simultaneamente minore di a o maggiore di -a.

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In altre parole, la disequazione |C (x)| < a è equivalente al sistema dato dalle due disequazioni C (x) < a e C (x) > -a, che si può scrivere anche come a < C (x) < a. Questo sistema va risolto per ottenere i valori della x che corrispondono alla risoluzione della disequazione C (x). Si vede pertanto che, nel caso di disequazioni fratte con valore assoluto, ai due sistemi di risoluzione associati alla risoluzione delle normali disequazioni fratte se ne aggiunge preliminarmente un altro legato alla presenza del valore assoluto. L'esempio mostrato nel seguito chiarirà questa procedura di risoluzione.

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La disequazione |(2x-5)/(x+1)| > 1 è equivalente alle seguenti due disequazioni: (2x-5)/(x+1) > 1 e (2x-5)/(x+1) < -1, ossia alle due disequazioni (x-6)/(x+1) > 0 e (3x-4)/(x+1) < 0. Queste due disequazioni razionali fratte (ora senza valore assoluto) vanno risolte singolarmente considerando separatamente i numeratori e i denominatori e i risultati ottenuti vanno combinati per ottenere la risoluzione generale della disequazione di partenza. La prima dà come risultato x < -1 e x > 6; la seconda -1 < x < (4/3). Quindi la disequazione |(2x-5)/(x+1)| > 1 è soddisfatta per x < -1, -1 < x < (4/3) e x > 6. In questo caso il valore assoluto comprende sia il numeratore sia il denominatore, in altri potrà interessare soltanto uno dei due.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Fare molta attenzione a non commettere errori di segno nella risoluzione di questo tipo di disequazioni

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