Come risolvere una disequazione fratta con valore assoluto

Tramite: O2O 24/09/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Le disequazioni, paragonabili alle capacitá delle equazioni, forniscono uno strumento irrinunciabile e ondamentale in ambito delle risoluzioni matematiche ed algebriche, poiché permettono di studiare e di semplificare molti problemi di questo genere: dai più banali ai più complessi. Una disequazione, viene definita tale, quando in una disuguaglianza tra due espressioni, figurano una o più lettere, definibili come ?incognite?. Una disequazione, in cui l'incognita compare al denominatore di qualche frazione, si dice fratta, o più precisamente razionale fratta. Le incognite, oltre che al denominatore, possono eventualmente ed anche frequentemente, comparire al numeratore, ed in essa può essere anche presente un valore assoluto. In questa guida, con pochi e semplici passaggi, vi illustrerò come risolvere questo importante tipo di disequazione fratta, dandovi qualche dritta per evitare errori ed ogni genere di confusione. Vediamo, quindi, come procedere. Cominciamo.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Penna
  • Quaderno
  • Buone competenze matematiche
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Consigli preliminari

Da qui, possiamo allora dire che risolvere una disequazione vuol dire trovare tutti i valori dell?incognita che verifichino la disuguaglianza (una disequazione può avere infinita soluzioni) e creare così un?insieme di soluzioni della disequazione, generalmente indicato con la lettera ?S?. La prima cosa da fare quando l'incognita compare al denominatore, è rintracciare le cosiddette condizioni di esistenza , ovvero l'insieme di tutti quei valori per cui il denominatore non si annulla e, dunque, esiste. Ricordatevi infatti che, ad esempio, non è possibile dividere per zero. Una volta fatto questo la risoluzione della disequazione fratta si riduce al confronto di due disequazioni non fratte. Una disequazione fratta si può scrivere, per esempio, nella seguente forma: f (x)/g (x)>0, dove f (x) e g (x) sono sue polinomi nella variabile x. Nel caso qui sopra mostrato, nei due sistemi, f (x) e g (x) assumono valori dello stesso segno. La risoluzione di una disequazione fratta con valore assoluto prevede un ulteriore sdoppiamento.

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Definizione valore assoluto

Per valore assoluto di un numero a (indicato con il simbolo |a| , dove le due barre laterali sono fondamentali) si intende il numero stesso, se questo è positivo o nullo, oppure l'opposto, se esso è negativo, cioè |a| = a, se a è >= 0, |a| = -a, se a

Continua la lettura
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Risoluzione equazione fratta con valore assoluto

In altre parole, la disequazione |C (x)| -a, che si può scrivere anche come a

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Primo esempio

La disequazione |(2x-5)/(x+1)| > 1 è equivalente alle seguenti due disequazioni: (2x-5)/(x+1) > 1 e (2x-5)/(x+1) 0 e (3x-4)/(x+1) 6; la seconda -1 1 è soddisfatta per x 6. In questo caso il valore assoluto comprende sia il numeratore sia il denominatore, in altri potrà interessare soltanto uno dei due. Ecco come in pochi semplici passi è possibile risolvere una disequazione fratta con valore assoluto.

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Secondo esempio

Proviamo adesso a risolvere la seguente disequazione:

???x?1x+2???>1
Bisogna ricordare la seguente proprietà: ??ab??=|a||b|
Quindi |x?1|>|x+2| normalmente non potremmo assolutamente "eliminare" il denominatore ma siccome sappiamo che |x+2| è sempre positivo è opporutno porre x??2.
Ora visto che sia a destra sia a sinistra abbiamo delle quantità certamente positive possiamo "quadrare":
x2?2x+1>x2+4x+4??3>6x?x12
S={x?x?R,x2??2
.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Importante a tal proposito non commettere errori di segno nella risoluzione di questo tipo di disequazioni
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