Come risolvere una disequazione di 2° grado con radicali

La risoluzione delle disequazioni è uno degli argomenti più ostici in algebra, perché introduce un grado superiore di difficoltà nei problemi. Se per le equazioni basta trovare i valori, per le disequazioni, si devono definire spazi all'interno dei quali i valori assumono significato. La difficoltà, però si supera abbastanza presto se ci si approccia con metodo. Vediamo intanto come risolvere una disequazione di 2° grado con radicali.

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Una disequazione di secondo grado per essere tale deve contenere un termine in cui l'incognita sia stata elevata alla seconda. La presenza o meno di termini sotto radice non ci dovrebbe preoccupare particolarmente, perché in ogni caso possiamo sostituirli con degli innocui paramatri, se proprio ci dovessero dare fastidio, e proseguire l'indagine senza portarci dietro espressioni complesse, fino all'ultimo passaggio, in cui andranno esplicitate. Se invece le radici non ci preoccupano, possiamo muoverci come al solito. Si rende innanzitutto la disequazione omogenea, cioè si portano tutti i termini a sinistra, lasciando alla destra del segno di diseguaglianza ( che può essere minore, minore uguale, maggiore o maggiore uguale a zero). A questo punto si individuano i termini in modo tale da poter riscrivere il termine a sinistra nella forma "a*x^2+b*x*c" per calcolare il determinante. L'unica vera bruttura sta nel fatto che invece di avere una risoluzione in una bella forma esplicita, ci troveremo a lavorare con combinazioni di radicali, che si lasciano non esplicitate per non perdersi in errori di troncatura che immancabilmente si producono con questo tipo di numeri.

Se ci sono anche termini che contengono l'incognita sotto radice, si parla di disequazioni irrazionali. In casi particolari queste conducono a disequazioni di secondo grado, dopo opportune trasformazioni. Si procede per gradi. Per prima cosa si stabilisce il campo di esistenza dei termini sotto radice e si traccia a parte il diagramma relativo, necessario in un secondo termine per verificare l'esattezza delle soluzioni. Si riportano a questo punto tutti i termini fuori radice a sinistra, mentre a destra del segno quelli sotto radice. Purtroppo non sempre, anzi praticamente mai, è possibile eliminare la radice con un semplice elevamento al quadrato di ambedue i lati della diseguaglianza, ma in questo caso si procede come segue. Si guarda il segno di diseguaglianza. Se i termini a sinistra devono essere maggiori o maggiori uguali di quelli a destra, essendo la radice positiva, si eleva al quadrato ambedue i lati, si risolve e si verifica che il lato sinistro rispetti la condizione sul segno. Se dovessero essere minori, o minori uguali, si procede in maniera analoga studiando separatamente i casi di termini a sinistra positivi e negativi.

Sia data la disequazione x^2+sqrt(3)x-sqrt(2)>0 . Si calcola il delta=[3+4*sqrt(2)] che non si esplicita, ma verifichiamo che è positivo. Le radici sono x1={-sqrt(3)+sqrt[delta]}/2 e x2={-sqrt(3)-sqrt[delta]}/2 . Trattandosi di una disequazione di secondo grado, abbiamo che la condizione è verificata per valori esterni all'intervallo delle radici, escluse queste ultime. Riportiamo un caso semplice di disequazione irrazionale x>sqrt(x+1). In questo caso il termine a sinistra deve essere positivo x>0. Eleviamo al quadrato a destra e sinistra ottenendo x^2>x-1 con soluzioni x1=[1+sqrt(5)]/2 e x2=[1-sqrt(5)]/2 si ottiene come risultato che x>x1 soddisfa la condizione. L'altra radice infatti è negativa e viola la condizione di positività richiesta per il termine a sinistra del segnoi di diseguaglianza.

• Disequazioni di secondo grado coi radicali