Come risolvere una disequazione con modulo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una disequazione è una relazione di disuguaglianza che è verificata in certi intervalli. Un modulo, detto anche valore assoluto, è una funzione che prende in considerazione esclusivamente i valori positivi, quindi ad ogni valore negativo associa il suo corrispondente positivo, mentre allo zero associa zero. In questa guida faremo degli esempi su come risolvere delle disequazioni di primo grado, da quelle semplici a quelle con due polinomi.

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Disequazioni semplici maggiore

Ora risolveremo una semplice disequazione |A (x)|>n prendendo in considerazione tre casi:
se n<0, la disequazione sarà sempre soddisfatta, ad es. |x-1|>-4, x può assumere qualsiasi valore, anche negativo e l'equazione sarà sempre vera.
se n=0, la disequazione sarà sempre soddisfatta, eccetto per |A (x)|=0, ad es. |x+3|>0 può assumere qualsiasi valore, tranne x+3=0 ovvero x=-3, perché il risultato sarebbe |-3+3|>0 cioè 0>0 quindi sbagliato.
se n>0 il risultato sarà A (x)<-n e A (x)>n, ad es. |x-2|>1 il risultato è x-2<-2 cioè x<0 e x-2>2 cioè x>4, infatti prendendo x=2 il risultato sarebbe |2-2|>1 ovvero 0>1 quindi sbagliato
.

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Disequazioni semplici minore

Passiamo alla disequazione |A (x)|se n<0, la disequazione non ammette soluzioni, ad es. |x-1|<-4 il risultato del modulo sarà sempre maggiore di -4 perché è sempre un numero positivo.
se n=0, anche in questo caso non ammette soluzioni, perché ogni risultato sarà sempre maggiore di 0
se n>0 il risultato sarà A (x)-n, ad es. |x-2|<1 il risultato è x-2<2 cioè x<4 e x-2>-2 cioè x>0, infatti prendendo x=5 il risultato sarebbe |5-2|<1 ovvero 3<1 quindi sbagliato.

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Disequazioni semplici maggiore-uguale e minore-uguale

Il caso in cui prendiamo |A (x)|≥n è molto simile al primo che abbiamo visto, infatti:
se n<0, la disequazione sarà sempre soddisfatta
se n=0, la disequazione sarà sempre soddisfatta
se n>0 il risultato sarà A (x) ≤-n e A (x) ≥n.

Mentre il caso in cui prendiamo A (x) ≤n è simile al secondo:
se n<0, la disequazione non ammette soluzioni,
se n=0, il risultato sarà A (x)=0 ad es. |x+6|≤0 x=-6, infatti |-6+6|≤0, cioè 0=0
se n>0 il risultato sarà A (x) ≤n e A (x) ≥-n.

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Disequazioni con due polinomi - passo 1

Per risolvere una disequazione come |A (x)|>B (x), dobbiamo seguire i passaggi sotto indicati.
Studiare il segno della funzione interna al valore assoluto, quindi A (x) e disegnare su una retta in modo da definire gli intervalli in cui dobbiamo lavorare.
Per esempio |4x|>x+3, studiamo il segno di |4x| quindi lo poniamo maggiore di 0: 4x>0 ovvero x>0.
A questo punto tracciamo una retta con una tacca al centro che rappresenta il numero 0, a destra della tacca avremo una linea piena che rappresenta i valori positivi, e a sinistra una tratteggiata che rappresenta i valori negativi. Quindi gli intervalli di lavoro saranno x<0 e x>0.

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Disequazioni con due polinomi - passo 2

A questo punto dobbiamo trasformare A (x) in base all'intervallo in cui ci troviamo ed inserire questi valori nella disequazione di partenza. Nell'intervallo x<0 per definizione di valore assoluto abbiamo che |4x|=-4x, mentre nell'intervallo x>0 abbiamo |4x|=4x. Avremo quindi due sistemi da risolvere, il primo comprenderà x<0 e -4x>x+3, il cui risultato è x<-1.
Il secondo sistema comprenderà x>0 e 4x>x+3, il cui risultato è x>1.

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Disequazioni con due polinomi - passo 3

Infine la soluzione è data dall'unione delle due soluzioni trovate in precedenza. Possiamo utilizzare una retta con due tacche, una rappresenta il primo risultato (-1) e una il secondo (1), tracceremo quindi una linea alla sinistra di -1 e una linea alla destra di 1, il risultato è quindi -11. Possiamo verificare sostituendo nell'equazione di partenza:
se x=-3 : |4*-3|>-3+3 ovvero 12>0, corretto
se x=5 : |4*5|>5+3 ovvero 20>8, corretto
se x=0,5 . |4*0,5|>0,5+3 ovvero 2>3,5, errato.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Identificare sempre il tipo di disequazione può aiutare a risolverla immediatamente
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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