Come risolvere una congruenza lineare

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quando si ha a che fare con dei calcoli matematici, trovare il metodo più rapido per arrivare alla soluzione può essere davvero difficile. Si tratta di sviluppare nella maniera giusta una serie di calcoli, riducendo al minimo il rischio di errore e riuscendo a trovare una soluzione ben precisa, che possa essere accettata e conservata o riutilizzata per altri calcoli. Nel caso delle congruenze lineari, la questione è più semplice di quanto si possa pensare. Risolvere questo tipo di equazioni, infatti, può essere davvero rapido, a patto che si apprenda il metodo giusto. Per fare ciò, occorre esercitarsi a lungo, così da acquisire una certa dimestichezza con i calcoli. Ecco come, allora, una semplicissima e pratica guida per risolvere una congruenza lineare in pochi passaggi.

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Occorrente

  • Carta
  • Penna
  • Calcolatrice
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Contrariamente a ciò che può apparire ad un primo sguardo, le congruenze lineari altro non sono che delle proposizioni. Si definisce, infatti, con il nome di congruenza lineare una qualsiasi espressione, nella forma ax ≡ b (mod n). Posto questo postulato, si accetta che a, b, n Z, e x è una variabile che può assumere qualsiasi valore fra i numeri interi. Occorre, adesso, capire quali sono le possibili soluzioni di un'espressione così posta.

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Il tipo di congruenza così risolta ammette una sola soluzione, da poter poi inserire nel piano cartesiano per osservarne la proiezione. Il metodo di risoluzione è davvero intuitivo e può essere applicato in tutti i casi in cui ci si trovi davanti ad una equazione diofantea, così da non temere di commettere degli errori e arrivare ad un risultato sicuro.

Continua la lettura
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Per prima cosa, occorre osservare attentamente l'equazione ax ≡ b (mod n). Per definizione, di congruenza, si ha ax - b multiplo di n, ovvero deve esistere un numero qualsiasi, h, tale che nh = ax - b. Per le regole di cancellazione, è possibile spostare la b a primo membro e "nh" al secondo membro. In questo modo, è possibile ottenere b = -nh + ax. Applicando al contrario le regole dei segni su -nh, si ottiene: b = ax + n (-h). Ora, dato che h è un numero intero, anche -h è un numero intero, come posto precedentemente. Perciò l'espressione diviene b = ax + ny, ovvero ax + ny = b, leggendo al contrario l'uguaglianza. È ovvio, dai passaggi che abbiamo fatto, che esistono delle soluzioni per la congruenza solo se esistono degli x, y in Z che soddisfano questa relazione. Le soluzioni di questo tipo di equazione, detta anche diofantea, esistono, ma solo se MCD(a; b) | c. Ovvero, in ax + ny = b, le soluzioni esistono se e solo se MCD (a; n) | b.

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