Come risolvere un triangolo utilizzando il teorema dei seni

La matematica non è una materia molto amata dagli studenti italiani, almeno secondo le ultime statistiche. C'è la difficoltà del ragionamento e magari il poco tempo che viene dedicato alle spiegazioni non incoraggia gli studenti ad impegnarsi. Inoltre, il fatto che ogni concetto è legato ad altri rende il tutto ancora più complicato a coloro che perdono qualche lezione, ancor più quando entra in gioco la trigonometria. Questa guida si propone di spiegare allo studente come risolvere un triangolo utilizzando il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero), cioè come arrivare a conoscere le lunghezze di tutti e tre i lati e le ampiezze di tutti e tre gli angoli grazie ad un importantissimo teorema di trigonometria. Vedrete che con un po' di impegno e concentrazione, il problema risulterà molto più semplice di quanto pensiate.

• Libro di trigonometria
• Calcolatrice scientifica

Cominciamo dicendo che i vertici di un triangolo vengono indicati con le prime lettere maiuscole dell'alfabeto, gli angoli con le corrispondenti lettere minuscole dell'alfabeto greco e i lati opposti a ciascuno di essi con le corrispondenti lettere minuscole dell'alfabeto. Per il teorema dei seni, in un triangolo (partiamo dal triangolo generico ABC), il rapporto fra un lato e il seno del suo angolo opposto è uguale al rapporto fra un qualsiasi altro lato e il seno del suo rispettivo angolo opposto. Si ha quindi: a/sen alfa = b/sen beta = c/sen gamma. Per la dimostrazione, partiamo dall'assunto che ogni triangolo è sempre inscrivibile in una circonferenza. Per calcolare la misura dei lati, basta applicare il teorema della corda per ogni lato.

Per risolvere un triangolo con il teorema dei seni, cioè per determinare le dimensioni dei tre lati e le ampiezze dei tre angoli, abbiamo bisogno di conoscere almeno due lati e l'angolo opposto ad uno dei due, oppure due angoli e il lato opposto ad uno dei due. Se si conoscono due lati e l'angolo opposto ad uno dei due (ad esempio al primo lato), utilizzando la formula possiamo ricavare l'angolo opposto al secondo lato. Siccome stiamo parlando di un poligono che non si interseca, possiamo triangolare l'interno di questa figura in triangoli non sovrapposti in modo tale che due triangoli qualsiasi si incontrino (se non lo sono) o lungo un bordo comune o in un vertice comune.

In ogni triangolo non equilatero vale la seguente proprietà: l'ortocentro, il centroide e il circumcentro sono allineati. La linea che accomuna questi tre punti è chiamata linea di Eulero.
Si sa che la distanza dall'ortocentro al baricentro è doppia rispetto a quella del baricentro al circumcentro. In altre parole, il segmento HG è il doppio di quello del GO.
Nel caso di un triangolo equilatero, il baricentro, l' ortocentro, il circumcentro e l'incentro coincidono nello stesso punto interno, che è alla stessa distanza dai tre vertici.
Questa distanza ai tre vertici di un triangolo equilatero è uguale al lato e quindi al vertice, essendo h una delle sue tre altezze.

Sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, per conoscere il terzo angolo basta sottrarre a 180° la somma dei due angoli che si conoscono. Otterremo l'ampiezza del terzo angolo: basta applicare nuovamente la formula del teorema dei seni per venire a conoscenza della lunghezza dell'ultimo lato. Se si conoscono due angoli e il lato opposto ad uno dei due, possiamo ricavare la lunghezza del lato opposto all'altro angolo, possiamo calcolare l'ampiezza del terzo angolo (180, ovvero la somma dei due angoli), quindi la lunghezza del terzo lato.

• Per ricavare la misura di un angolo conoscendo il suo seno, bisogna applicare la funzione inversa del seno (arcsen). Sulle calcolatrici in genere questa funzione viene abbreviata in sen^(-1)

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