Come risolvere un sistema di primo grado col metodo di addizione e sottrazione

Tramite: O2O 21/07/2016
Difficoltà: facile
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Introduzione

Gli alunni delle scuole superiori, si troveranno ben presto a dover fare i conti con le tanto odiate equazioni. In questa guida vedremo come risolvere un sistema di primo grado col cosiddetto metodo di addizione e sottrazione. Tramite questo procedimento, detto anche di riduzione, cercheremo di eliminare dal sistema un'incognita per volta, ottenendo dunque un'equazione nella sola incognita "x" e un'altra nell'incognita "y".

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Per realizzare quanto detto nell'introduzione, è necessario che i coefficienti dell'incognita che si vuole eliminare risultino uguali od opposti nelle 2 equazioni. Per ottenere questa condizione si moltiplicano entrambi i membri di una o di entrambe le equazioni per opportune costanti non nulle, così come dettato dal secondo principio di equivalenza, secondo cui se si moltiplicano o dividono tutti i membri di un'equazione per uno stesso numero diverso da zero, si può ottenere un'equazione uguale a quella originaria. In particolare, se i coefficienti di un'incognita nelle due equazioni sono numeri interi, si cercherà di renderli uguali al loro minimo comune multiplo.

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Una volta resi uguali i coefficienti dell'incognita da eliminare, si sottraggono membro a membro le due equazioni; se i coefficienti sono invece opposti si sommano membro a membro le due equazioni. Bisognerà quindi scrivere una nuova equazione che abbia al primo membro la somma o la differenza dei primi membri delle equazioni date, e al secondo membro la somma o la differenza dei secondi membri delle equazioni date.

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Ecco un esempio della spiegazione: poniamo di avere:
{ 6x + 2y = 13 { 4x - 5y = -4

Per eliminare l'incognita "x" osserviamo che il minimo comune multiplo tra i coefficienti della x, che sono 6 e 4, è 12. Moltiplichiamo perciò entrambi i membri della prima equazione per 12:6 =2; ripetiamo la stessa operazione per entrambi i membri della seconda equazione moltiplicandoli per 12:4 =3.
Otterremo in questo modo che i coefficienti della x nelle due equazioni diventeranno entrambi uguali a 12 poiché:
2(6x + 2y) = 13 * 2 ---> {12x + 4y = 26
3(4x - 5y) = -4 ---> {12x - 15y = -12

Sottraendo ora membro a membro le due equazioni:

(12x + 4y) - (12x - 15y) = 26 - (-12)

otterremo che:
19y = 38 ---> y =2

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Per eliminare l'incognita x conviene ripartire dal sistema iniziale. Moltiplicando entrambi i membri della prima equazione per 5 ed entrambi i membri della seconda per 2 infatti, i coefficienti della y nelle due equazioni diventeranno eguali rispettivamente a 10 e -10:
{5 * (6x + 2y) = 13 * 5 ---> { 30x + 10y = 65
{2 * (4x - 5y) = -4 * 2 ---> { 8x - 10y = -8
Sommando ora membro a membro le due equazioni:
(30x +10y) + (8x - 10y) = 65 - 8

otterremo che:38x = 57 ---> x= 57/38 ---> x= 3/2
Perciò la soluzione del sistema dato sarà la coppia ordinata (3/2 ; 2)

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