Come risolvere un sistema di equazioni non lineari

tramite: O2O
Difficoltà: media
14

Introduzione

Presto o tardi tutti noi ci troviamo a fare i conti con i sistemi di equazioni non lineari. I sistemi non lineari sono dei sistemi di equazioni che contengono delle incognite non lineari, ovvero che non possono essere espresse mediante somma e moltiplicazione di altre incognite presenti o costanti. In natura quasi tutti i tipi di sistemi fisici sono non lineari, e questo crea non poche difficoltà per la loro risoluzione. Risolvere questi sistemi significa trovare uno o più punti nei quali tutte le equazioni del sistema siano verificate. Vediamo come fare.

24

Iniziamo col dire che un sistema di questo tipo presenta un numero di soluzioni minore o uguale al grado del sistema. Ciò vuol dire che se nel sistema compare un'incognita elevata alla quarta, ci saranno al massimo quattro soluzioni, per quell'incognita, che soddisfaranno il sistema. Bisogna quindi trovare queste soluzioni. La risoluzione di questi sistemi può essere fatta in diversi modi. Uno dei metodi più semplici è usare un programma di calcolo al computer, o sulle calcolatrici più potenti. Ma se siete qui a leggere questa guida credo che vogliate sapere come fare nel caso non vi sia concesso di usare questi mezzi. In questo caso potreste effettuare una soluzione geometrica. Per risolvere il sistema in questo modo bisogna disegnare le curve (che sono descritte dalle equazioni del sistema) in un piano e cercare i loro punti di intersezione. Questa operazione è abbastanza facile nel caso di un sistema in due equazioni e in due incognite, in quanto il piano da prendere in considerazione è un piano bidimensionale. Il procedimento si complica nel caso di tre incognite in tre equazioni, in quanto in questo caso il piano diventerebbe tridimensionale. Da quattro incognite in su diventa davvero impossibile risolvere il sistema con questo metodo.

34

Viene in nostro aiuto allora un altro metodo. Molto più difficile del precedente ma utilizzabile per ogni tipo di sistema non lineare. È il metodo di linearizzazione del sistema. Un'equazione non lineare rappresenta sul piano una curva che non è una retta. Ma se prendiamo un punto di questa curva, e consideriamo un intorno abbastanza piccolo, possiamo approssimare quel pezzo di curva ad una retta. Il concetto che sta alla base della linearizzazione è questo. Un sistema linearizzato approssimerà quindi il sistema originale. Per linearizzare si usano diversi tipi di sviluppo in serie. Tra i più usati c'è lo sviluppo in serie di Taylor e lo sviluppo in serie di Fourier.

Continua la lettura
44

Per quanto riguarda lo studio matematico di tipo didattico solitamente ci si concentra su sistemi di due equazioni in due incognite e per lo più formati da equazioni di tipo polinomiali. Ciò vuol dire che non sono presenti termini come esponenziali, logaritmi o seni e coseni. La risoluzione di questi sistemi è abbastanza semplice. Qualora il vostro sistema fosse invece più complicato esiste un terzo metodo di risoluzione, quello iterativo. Questo metodo è quello che usano i calcolatori per risolvere problemi di questo tipo e si basa sulla ricorsione. Si sceglie un errore limite che vogliamo compiere e si inizia a dare dei valori alle incognite in modo da vedere se questi valori soddisfano o meno il sistema. Si procede in questo modo, adattando di volta in volta i valori in modo da avvicinarsi alla soluzione, fin quando l'errore commesso non è minore dell'errore minimo che avevamo preventivato. Questo tipo di risoluzione è molto lungo ed oneroso, è quindi consigliabile evitare la risoluzione dei sistemi non lineari mediante questo metodo.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come risolvere le equazioni lineari goniometriche

In tale tutorial vi spiegheremo come sarà possibile risolvere le equazioni lineari goniometriche. Prima di tutto vi vogliamo dare le spiegazioni relativamente a che cosa sono tali equazioni. Con il termine equazione goniometrica si indica un'equazione...
Superiori

Come risolvere un sistema di equazioni

Un argomento che viene sicuramente affrontato dopo aver svolto molte equazioni è quello del sistema di equazioni. Il sistema mette in relazione, grazie ad una parentesi graffra, due o più equazioni tra loro. Risolvere questo genere di esercizio di matematica...
Superiori

Come risolvere equazioni lineari di ordine superiore al secondo

Normalmente, in qualsiasi posto del mondo, ci sono dei ragazzini che non sono in grado di capire e calcolare le varie sfumature della matematica generale. Non perché non sono intelligenti, ma semplicemente poiché hanno bisogno di un approfondimento...
Superiori

Come risolvere un sistema di tre equazioni

Capita spesso che ci si possa trovare in difficoltà nel seguire il programma di studio a causa di un argomento che non si è capito, perché tutti i procedimenti sono collegati tra loro; queste mancanze uno studente rischia di portarsele fino a fine...
Superiori

Come risolvere un sistema di equazioni a due incognite

All'interno di questa guida, andremo a parlare di matematica. Indubbiamente, essa è una materia che potrebbe risultare indigesta per qualcuno. Entrando nel dettaglio, andremo a parlare di equazioni con due incognite. Proveremo a fornire una risposta...
Superiori

Come calcolare il grado di un sistema di equazioni

Nello studio della matematica uno di principali argomenti è quello dalle equazioni. Tale studio parte da quelle più semplici ossia quelle di primo grado. La materia si estende poi verso argomenti più complessi come le equazioni di grado superiore al...
Superiori

Come risolvere le equazioni di quarto grado

Esistono diversi tipi di equazioni, ma quelle di quarto grado sono sicuramente quelle più complicate, almeno per le persone inesperte o alle prime armi. Ci sono diversi passaggi da capire e molti procedimenti da seguire. In questa semplice guida vi verrà...
Superiori

Come risolvere un sistema lineare

In questo articolo si è deciso di dedicarlo ad un argomento molto utile a tutti gli studenti, che si accingono ad affrontarlo a scuola, durante l'anno scolastico. Nello specifico si è ben pensato di parlare sul come poter risolvere, nel modo più veloce...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.