Come risolvere un sistema di equazioni non lineari

Presto o tardi tutti noi ci troviamo a fare i conti con i sistemi di equazioni non lineari. I sistemi non lineari sono dei sistemi di equazioni che contengono delle incognite non lineari, ovvero che non possono essere espresse mediante somma e moltiplicazione di altre incognite presenti o costanti. In natura quasi tutti i tipi di sistemi fisici sono non lineari, e questo crea non poche difficoltà per la loro risoluzione. Risolvere questi sistemi significa trovare uno o più punti nei quali tutte le equazioni del sistema siano verificate. Vediamo come fare.

Iniziamo col dire che un sistema di questo tipo presenta un numero di soluzioni minore o uguale al grado del sistema. Ciò vuol dire che se nel sistema compare un'incognita elevata alla quarta, ci saranno al massimo quattro soluzioni, per quell'incognita, che soddisfaranno il sistema. Bisogna quindi trovare queste soluzioni. La risoluzione di questi sistemi può essere fatta in diversi modi. Uno dei metodi più semplici è usare un programma di calcolo al computer, o sulle calcolatrici più potenti. Ma se siete qui a leggere questa guida credo che vogliate sapere come fare nel caso non vi sia concesso di usare questi mezzi. In questo caso potreste effettuare una soluzione geometrica. Per risolvere il sistema in questo modo bisogna disegnare le curve (che sono descritte dalle equazioni del sistema) in un piano e cercare i loro punti di intersezione. Questa operazione è abbastanza facile nel caso di un sistema in due equazioni e in due incognite, in quanto il piano da prendere in considerazione è un piano bidimensionale. Il procedimento si complica nel caso di tre incognite in tre equazioni, in quanto in questo caso il piano diventerebbe tridimensionale. Da quattro incognite in su diventa davvero impossibile risolvere il sistema con questo metodo.

Viene in nostro aiuto allora un altro metodo. Molto più difficile del precedente ma utilizzabile per ogni tipo di sistema non lineare. È il metodo di linearizzazione del sistema. Un'equazione non lineare rappresenta sul piano una curva che non è una retta. Ma se prendiamo un punto di questa curva, e consideriamo un intorno abbastanza piccolo, possiamo approssimare quel pezzo di curva ad una retta. Il concetto che sta alla base della linearizzazione è questo. Un sistema linearizzato approssimerà quindi il sistema originale. Per linearizzare si usano diversi tipi di sviluppo in serie. Tra i più usati c'è lo sviluppo in serie di Taylor e lo sviluppo in serie di Fourier.

Per quanto riguarda lo studio matematico di tipo didattico solitamente ci si concentra su sistemi di due equazioni in due incognite e per lo più formati da equazioni di tipo polinomiali. Ciò vuol dire che non sono presenti termini come esponenziali, logaritmi o seni e coseni. La risoluzione di questi sistemi è abbastanza semplice. Qualora il vostro sistema fosse invece più complicato esiste un terzo metodo di risoluzione, quello iterativo. Questo metodo è quello che usano i calcolatori per risolvere problemi di questo tipo e si basa sulla ricorsione. Si sceglie un errore limite che vogliamo compiere e si inizia a dare dei valori alle incognite in modo da vedere se questi valori soddisfano o meno il sistema. Si procede in questo modo, adattando di volta in volta i valori in modo da avvicinarsi alla soluzione, fin quando l'errore commesso non è minore dell'errore minimo che avevamo preventivato. Questo tipo di risoluzione è molto lungo ed oneroso, è quindi consigliabile evitare la risoluzione dei sistemi non lineari mediante questo metodo.