Come risolvere un sistema di equazioni non lineari

Presto o tardi tutti noi ci troviamo a fare i conti con i sistemi di equazioni non lineari. I sistemi non lineari sono dei sistemi di equazioni che contengono delle incognite non lineari, ovvero che non possono essere espresse mediante somma e moltiplicazione di altre incognite presenti o costanti. In natura quasi tutti i tipi di sistemi fisici sono non lineari, e questo crea non poche difficoltà per la loro risoluzione. Risolvere questi sistemi significa trovare uno o più punti nei quali tutte le equazioni del sistema siano verificate. Prima però di andare a svolgere un sistema di equazioni non lineari, consigliamo vivamente di ripassare al meglio la teoria, e soprattutto di averla compresa bene. Così facendo, vi saranno più comprensibili i vari passaggi di soluzione dei sistemi stessi che troverete nei prossimi paragrafi. Vediamo ora come fare.

Iniziamo col dire che un sistema di questo tipo presenta un numero di soluzioni minore o uguale al grado del sistema. Ciò vuol dire che se nel sistema compare un'incognita elevata alla quarta, ci saranno al massimo quattro soluzioni per quell'incognita, che soddisferanno il sistema. Bisogna quindi trovare queste soluzioni. La risoluzione di questi sistemi può essere fatta in diversi modi. Se non è eccessivamente complesso, può venirvi in aiuto la risoluzione geometrica. Per risolvere il sistema in questo modo bisogna disegnare le curve (che sono descritte dalle equazioni del sistema) in un piano e cercare i loro punti di intersezione. Questa operazione è abbastanza facile nel caso di un sistema in due equazioni e in due incognite, in quanto il piano da prendere in considerazione è un piano bidimensionale. Il procedimento si complica nel caso di tre incognite in tre equazioni, in quanto in questo caso il piano diventerebbe tridimensionale. Se vi trovate come nell'ipotesi di inizio paragrafo, ovvero con quattro incognite in su, diventa davvero impossibile risolvere il sistema con questo metodo.

Se ci troviamo dunque di fronte ad un sistema complesso, allora dovremo quasi sicuramente utilizzare il metodo di linearizzazione del sistema. Risulta di norma più difficile del precedente, dato che bisognerà svolgere dei calcoli matematici più o meno impegnativi, ma ha dalla sua il vantaggio di poter essere utilizzato per ogni tipo di sistema non lineare. Un'equazione non lineare rappresenta sul piano una curva che non è una retta. Ma se prendiamo un punto di questa curva, e consideriamo un intorno abbastanza piccolo, possiamo approssimare quel pezzo di curva ad una retta. Il concetto che sta alla base della linearizzazione è questo. Un sistema linearizzato approssimerà quindi il sistema originale. Per linearizzare si usano diversi tipi di sviluppo in serie. Tra i più usati c'è lo sviluppo in serie di Taylor e lo sviluppo in serie di Fourier.

Per quanto riguarda lo studio matematico di tipo didattico solitamente ci si concentra su sistemi di due equazioni in due incognite e per lo più formati da equazioni di tipo polinomiali. Ciò vuol dire che non sono presenti termini come esponenziali, logaritmi o seni e coseni. La risoluzione di questi sistemi è abbastanza semplice. Qualora il vostro sistema fosse invece più complicato esiste un terzo metodo di risoluzione, quello iterativo. Questo metodo è quello che usano i calcolatori per risolvere problemi di questo tipo e si basa sulla ricorsione. Si sceglie un errore limite che vogliamo compiere e si inizia a dare dei valori alle incognite in modo da vedere se questi valori soddisfano o meno il sistema. Si procede in questo modo, adattando di volta in volta i valori in modo da avvicinarsi alla soluzione, fin quando l'errore commesso non è minore dell'errore minimo che avevamo preventivato. Questo tipo di risoluzione è molto lungo ed oneroso, è quindi consigliabile evitare la risoluzione dei sistemi non lineari mediante questo metodo.

Questo dovrebbe essere l'ultimo metodo da utilizzare, o magari da utilizzare per verificare se avete commesso errori oppure siete stati bravi ed avete svolto correttamente il sistema di equazioni non lineari. Infatti, esistono dei programmi in grado di calcolare in pochissimo tempo (praticamente all'istante) anche le operazioni matematiche più complesse, compresi i sistemi di equazioni appunto. Un validissimo sito internet è Wolfram Alpha. Basta digitare il sistema di equazione che vogliamo verificare, dare l'invio, ed il sito internet ci fornirà la soluzione. Per verificare se abbiamo svolto tutto correttamente, infatti, il sito è in grado di fornirci la soluzione passo dopo passo, o step-by-step come indicato nel sito internet. Sarà più semplice quindi capire un eventuale errore capitatoci durante lo sviluppo del sistema di equazioni.

• Allenatevi a sfruttare ognuno di questi metodi, così durante un esame avrete più chance di arrivare alla soluzione

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