Come risolvere un sistema di equazioni differenziali

Tramite: O2O 24/06/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Le equazioni differenziali sono universalmente conosciute come uno degli esercizi più difficili per l'esame di Analisi II. Possono essere di vario tipo e il grado di elevazione può variare da 1 ad n. In questa guida vedremo come risolvere un sistema di equazioni differenziali il cui grado massimo sarà due. Altra cosa importantissima, questi metodi risolutivi sono applicabili alle sole equazioni differenziali lineari, perché nelle equazioni non lineari è necessario compiere un studio di funzione diverso per ogni caso, e quindi impossibile da esplicitare attraverso un metodo. Quando noi andiamo ad analizzare un'equazione, sarà necessario cercarne la primitiva, detta integrale o soluzione dell'equazione differenziale. Essa sarà composta da due parti: la soluzione dell'equazione omogenea associata [che chiameremo per semplicità y] e la soluzione dell'equazione specifica [ che chiameremo per semplicità Y].

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Occorrente
  • Carta
  • Penna
  • Calcolatrice
  • Formulario delle derivate
  • Formulario degli integrali
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Le equazioni differenziali di primo grado

Le equazioni differenziali di primo grado sono il caso più semplice di equazione differenziale, in quanto le soluzioni sono note a priori attraverso delle formule specifiche.
Esse si presentano come Y'(x)+a (x) Y (x)=G (x).
La soluzione dell'omogenea risulta essere: y (x) = ce^(-A (x))
dove c è la costante e A (x) è l'integrale di a (x).
La soluzione dell'equazione specifica risulta essere: Y (x)= B (x) e^(-A (x))
dove B (x) è l'integrale del prodotto di e^(A (x)) e G (x).
Sommando le due soluzioni è possibile cosi ottenere la soluzione dell'equazione.

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Le equazioni differenziali di secondo grado

Ora si entra in un campo molto più complesso in quanto, per risolvere le equazioni differenziali di secondo grado, è necessario percorrere molte strade diverse e si presenta come Y''(x)+aY'(x)+bY (x)=G (x). Prima di tutto si calcola l'equazione omogenea associata, ponendo G (x) = 0 e sostituento ad Y'' una variabile chiamata gamma. Uscirà quindi un'equazione di secondo grado normale di cui vanno trovate le soluzioni, chiamate gamma e gamma1, e in base a come queste si presentino, è necessario scrivere la soluzione omogenea in modo differente. Se il delta>0, allora si ha y (x)= c1e^gammax+c2e^gamma1x; se invece il delta è = 0, abbiamo y (x)= c1e^gammax+c2xe^gammax; infine se il delta è Ora vediamo come trovare la soluzione specifica.
Se la G (x) è di questo tipo = e^Ax * P (x), dove A è una variabile che deve essere confrontata con
le radici del delta, e P (x) è un polinomio generico. Se A è soluzione, allora la y (x) = e^Ax * J (x).
Se A non è soluzione, Y (x)=xe^Ax * I (x). Sub">J (x) e I (x) sono dei polinomi generici, scritti come ax^2+bx.... Etc che vengono posti = g (x) e trovati confrontando le x di pari grado. Una volta aver trovato le due soluzioni, esse si sommano e si trova l'integrale, cioè la soluzione dell'equazione differenziale.

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Le condizioni

Quando alle equazioni differenziali singole vengono affiancate altre condizioni, esse prendono il nome di problema di Cauchy. Le condizioni che è possibile applicare dopo aver trovato la primitiva in funzione delle costanti sono svariate. Si può andare dalle più banali Y (x)=y, Y'(x)=y e cosi via, dove x e y rappresentano due numeri reali, che andati a sostituire nell'equazione diano un'uguaglianza. Come altra condizione vi potrebbe essere imposto un limite. Si può prendere ad esempio un limite per x-> infinito/-infinito/0/etc della primitiva = L, dove L risulta essere un numero reale.

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