Come risolvere un sistema di equazioni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Un argomento che viene sicuramente affrontato dopo aver svolto molte equazioni è quello del sistema di equazioni. Il sistema mette in relazione, grazie ad una parentesi graffra, due o più equazioni tra loro. Risolvere questo genere di esercizio di matematica non è affatto difficile e ci sono moltissimi metodi per farlo. In questa guida vedremo come risolvere un sistema di equazioni in maniera semplice ossia senza l'uso di matrici.

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Scegliere l'equazione da cui partire

Supponiamo di aver un sistema formato da tre equazioni. Bisogna per prima cosa individuare quale sia l'equazione più semplice da cui poter partire. L'equazione di partenza deve essere sempre quella che ad occhio faremmo in pochi passaggi. Se avessimo ad esempio: eq1: 3x''+6z=0, eq2: x+5y=4 ed eq3: 2y+8x=3 allora la prima equazione da prendere sarebbe di sicuro la eq2. Questo perché possiamo da subito ottenere come uguaglianza x=4-5y il che ci porta ad una sostituzione del valore della x molto intuitivo e senza bisogno di dover dividere la quantità 4-5y per un eventuale coefficiente della x, cosa che invece sarebbe accaduto prendendo come prima equazione eq3.

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Sostituire il valore trovato nelle altre equazioni

Una volta ottenuto il valore della prima incognita, anche se è in funzione di altre incognite, procediamo sostituendolo in ogni altra equazione. Per facilitare questo passaggio, mettiamo il valore ottenuto nella prima equazione tra parentesi ogni qual volta lo sostituiamo. Se davanti questo valore c'è un coefficiente ricordiamo di moltiplicare ogni valore in parentesi per il coefficiente ad es: eq2. X=4-5y ->eq1: 3(4-5x)''+6z=0, eq3: 2y+8(4-5y)=3. Nella eq1 il valore della x che abbiamo sostituito andrà fatto prima al quadrato, secondo la regola del quadrato di un binomio, e poi moltiplicato per il coefficiente 3 mentre nella eq3 basterà moltiplicare sia 4 che -5y per il coefficiente +8.

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Ricavare le successive incognite

Una volta sostituito il primo valore mettiamo l'equazione di partenza da parte e passiamo a risolvere le altre equazioni che a questo punto avranno un'incognita in meno. Selezioniamo di nuovo l'equazione che ci da la seconda incognita in modo più intuitivo e procediamo come prima sostituendo il valore che troveremo in tutte le equazioni. Dall'esempio precedente in una delle due equazioni otterremo un incognita al quadrato, selezioniamo l'equazione che però ha valori privi di potenze così che non sia necessario mettere tutta l'equazione sotto radice quadrata.

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Metodo della differenza di equazioni

Ogni sistema di equazioni deve avere tante incognite quante sono il numero di equazioni, in caso contrario sarebbe impossibile risolvere il sistema o una delle equazioni risulterebbe ridondante. Se abbiamo in un sistema delle equazioni che paragonate porterebbero entrambe ad una soluzione semplice di un'incognita possiamo usare il metodo della differenza delle equazioni. Per eseguirla incolonniamo le due equazioni in modo che le incognite e i coefficienti uguali siano uno sotto l'altra. Creiamo la sottrazione e risolviamola ottenendo così l'incognita come nell'esempio: eq1: x+2y=5, eq2: x-2y=3 -> x+2y=5 , -(x-2y=3) -> x-x=0 , 2y-(-2y)=4y, 5-3x=2. Quindi poiché la x=0 otterremo come incognita 4y=2 e quindi y=1/2 che andrà sostituita nella prima equazione.

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Sistema possibile, impossibile e indeterminato

Facciamo sempre attenzione ai tipi di soluzione che otteniamo man mano che risolviamo il nostro sistema. Se abbiamo ad esempio tre equazioni potremmo ottenere tre soluzioni distinte e quindi avere un sistema possibile. Se una delle equazioni viene del tipo 0=0 perché magari le equazioni sono uguali e pur risolvendone una ottengo nella seconda tale risultato, siamo di fronte ad un sistema indeterminato. Se una delle equazioni ha l'incognita che sparisce, dopo una sostituzione, come nell'esempio: eq1: x+2y=3, eq2: x+2y=1 -> eq2: (3-2y)+2y=1 -> 0=-2 mi trovo davanti ad una equazione impossibile che mi da di conseguenza un sistema impossibile.

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