Come risolvere un sistema a due incognite

Tramite: O2O 03/04/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica, per sistema di equazioni a due incognite si intende un insieme di due equazioni contenenti due incognite le cui soluzioni devono contemporaneamente soddisfarle tutte. Per risolvere un sistema di equazioni si intente riuscire a trovare l'insieme dei valori tali che, sostituiti alle due variabili, risolvano entrambe le equazioni. I sistemi di equazioni possono essere suddivisi in determinato (ha una ed una sola soluzione), indeterminato (ha infinite soluzioni) ed impossibile (non ammette soluzioni). Una volta verificato che il sistema davanti al quale siamo è verificato, si potrà procedere a risolverlo. Per fare questo ci sono vari metodi come ad esempio il metodo di sostituzione, quello di addizione, quello di confronto e quello Cramer. In questa guida vi mostrerò tutti i vari metodi per poter facilmente risolvere un sistema di equazioni a due incognite!

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Occorrente

  • Libro di algebra
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Sistema determinato, indeterminato o impossibile

Come detto nell'introduzione, il primo passo da fare è verificare quante soluzioni ammette il sistema. Per farlo è sufficiente fare il rapporto fra i vari coefficienti delle incognite e confrontarli. Se ad esempio le equazioni sono: ax+by=c e a'x+b'y=c', si avrà un sistema determinato se a/a' è diverso da b/b'; si avrà un sistema indeterminato se a/a' è uguale da b/b' ma diverso da c/c' mentre si avrà un sistema impossibile se i tre rapporti sono tutti uguali fra loro.

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Metodo della sostituzione

Il primo e più semplice metodo per risolvere il sistema, è ricavare un'incognita in un'equazione ed andarla e sostituire nell'altra. Se ad esempio avete x-4y=1 e x+3y=7, basterà ricavare x nella prima equazione (x=1+y) e sostituirlo nella seconda, ottenendo 1+y+3y=7, e quindi y=7/5. A questo punto sostituire y nella prima equazione per trovare il valore di x.

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Metodo di addizione

Per fare questo, dovrete come prima cosa fare in modo che i coefficienti della y siano gli stessi ma di segno opposto, per ottenere questo potete tranquillamente sfruttare il secondo principio di equivalenza delle equazioni. Se ad esempio, x+3y=4 e 2x-y=1, moltiplicate la terza equazione per 3, ottenendo 6x-3y=3. A questo punto sommate fra loro le x, le y ed il terzo valore, ottenedo: 7x=7, quindi x=1 (perché la y si semplifica in questa somma). A questo punto utilizzate il metodo della sostituzione per ricavare l'altra variabile.

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Metodo del confronto e metodo Cramer

Il metodo del confronto ed il metodo Cramer sono leggermente più complessi e necessitano di conoscenze più approfondite dell'argomento (per esempio il metodo Cramer necessita di conoscere almeno le basi delle matrici). I metodi della sostituzione e di addizioni dovrebbero essere sufficienti a risolvere la maggior parte dei sistemi di equazioni a due incognite, se però necessitate di un approfondimento sull'argomento, consultate il link presente nella guida, dove vi saranno spiegati gli ultimi due metodi.

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