Come risolvere un sistema a 3 variabili

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I sistemi lineari di equazioni sono una parte integrante di tutto il corso di studi. La matematica, anche a livelli avanzati, si affida ai sistemi di equazioni lineari per gestire le modellizzazioni di fenomeni anche complessi. All'apparenza un sistema in tre variabili può sembrare una minaccia insormontabile per il risolutore, ma in realtà con un minimo di pratica e di esperienza è possibile affrontarlo in maniera del tutto serena ed automatica. Vediamo come risolvere un sistema a 3 variabili.

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Occorrente

  • calcolatrice
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Azioni preliminari

Non è necessariamente detto che il sistema a 3 variabili ci arrivi in una forma bella e comoda. Per prima cosa dobbiamo renderlo omogeneo, con operazioni piuttosto semplici. Si devono raggruppare tutti i termini nelle singole variabili in modo tale che in ognuna delle equazioni abbiano posizioni analoghe. In questa maniera le costanti o i parametri, a seconda, si troveranno in posizioni adatte a permetterci di scrivere una matrice. Il sistema riordinato sarà leggibile sia per righe che per colonne, e molto semplice da risolvere.

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Metodo di sostituzione

Con questo metodo si deve fare in modo che una delle variabili sia espressa esplicitamente in funzione delle altre, e quindi dovremo effettuare spostamenti, moltiplicazioni e divisioni per avere le tre equazioni in una forma del tipo x=by+cz+k. Sostituendo la variabile esplicitata nelle altre due si otterrà un semplice sistema a due variabili, che si risolve con uno dei metodi che preferiamo. A questo punto, trovate le due variabili y e z sarà sufficiente sostituirle nella prima equazione per risolvere anche questa.

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Metodo di Cramer

Con questo metodo la risoluzione dei sistemi di equazioni in 3 variabili è semplicissimo. Si scrive il sistema in forma di matrice M, con le incognite e i termini noti scritti in un vettore colonna. Il primo passo è il calcolo del determinante, che per sistemi in tre variabili può essere fatto col metodo di Sarrus, che è assolutamente meccanico. Per procedere si deve poi calcolare il determinante di tre matrici ausiliarie ottenute sostituendo il vettore dei termini noti ad una delle colonne della matrice originale delle incognite. Assumendo che per comodità le variabili siano x, y, z, in questo ordine, dovremo calcolare il determinante della matrice ottenuta sostituendo la prima colonna con il vettore dei termini noti, che chiameremo Mx, poi la My sostituendo la seconda ed infine la Mz con la terza. Le tre variabili. A questo punto x=[det (Mx)/det (M)] e via di seguito, dove det () è il determinante della matrice. Con questo metodo, fra l'altro è immediato scoprire se il sistema non ha soluzioni perché det (M)=0 indica che le equazioni sono linearmente dipendenti fra loro e quindi non si può proseguire.

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Consigli

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