Come risolvere un sistema a 3 variabili

Tramite: O2O 11/01/2018
Difficoltà: media
16
Introduzione

I sistemi lineari di equazioni sono una parte integrante di tutto il corso di studi. La matematica, anche a livelli avanzati, si affida ai sistemi di equazioni lineari per gestire le modellizzazioni di fenomeni anche complessi. All'apparenza un sistema in tre variabili può sembrare una minaccia insormontabile per il risolutore, ma in realtà con un minimo di pratica e di esperienza è possibile affrontarlo in maniera del tutto serena ed automatica. Vediamo come risolvere un sistema a 3 variabili.

26
Occorrente
  • calcolatrice
36

Azioni preliminari

Non è necessariamente detto che il sistema a 3 variabili ci arrivi in una forma bella e comoda. Per prima cosa dobbiamo renderlo omogeneo, con operazioni piuttosto semplici. Si devono raggruppare tutti i termini nelle singole variabili in modo tale che in ognuna delle equazioni abbiano posizioni analoghe. In questa maniera le costanti o i parametri, a seconda, si troveranno in posizioni adatte a permetterci di scrivere una matrice. Il sistema riordinato sarà leggibile sia per righe che per colonne, e molto semplice da risolvere.

46

Metodo di sostituzione

Con questo metodo si deve fare in modo che una delle variabili sia espressa esplicitamente in funzione delle altre, e quindi dovremo effettuare spostamenti, moltiplicazioni e divisioni per avere le tre equazioni in una forma del tipo x=by+cz+k. Sostituendo la variabile esplicitata nelle altre due si otterrà un semplice sistema a due variabili, che si risolve con uno dei metodi che preferiamo. A questo punto, trovate le due variabili y e z sarà sufficiente sostituirle nella prima equazione per risolvere anche questa.

Continua la lettura
56

Metodo di Cramer

Con questo metodo la risoluzione dei sistemi di equazioni in 3 variabili è semplicissimo. Si scrive il sistema in forma di matrice M, con le incognite e i termini noti scritti in un vettore colonna. Il primo passo è il calcolo del determinante, che per sistemi in tre variabili può essere fatto col metodo di Sarrus, che è assolutamente meccanico. Per procedere si deve poi calcolare il determinante di tre matrici ausiliarie ottenute sostituendo il vettore dei termini noti ad una delle colonne della matrice originale delle incognite. Assumendo che per comodità le variabili siano x, y, z, in questo ordine, dovremo calcolare il determinante della matrice ottenuta sostituendo la prima colonna con il vettore dei termini noti, che chiameremo Mx, poi la My sostituendo la seconda ed infine la Mz con la terza. Le tre variabili. A questo punto x=[det (Mx)/det (M)] e via di seguito, dove det () è il determinante della matrice. Con questo metodo, fra l'altro è immediato scoprire se il sistema non ha soluzioni perché det (M)=0 indica che le equazioni sono linearmente dipendenti fra loro e quindi non si può proseguire.

66
Consigli
Non dimenticare mai:
  • Dare un'occhiata alle matrici
Alcuni link che potrebbero esserti utili:
Potrebbe interessarti anche
Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come risolvere graficamente un sistema lineare

Per sistema di equazioni lineari di si intende un sistema formato da n equazioni lineari in n incognite, se scelgo n=2 il sistema avrà la forma:1) a1x+b1y=c12) a2x+b2y=c2. Come risolvere graficamente un sistema lineare? Farlo significa trovare valori...
Superiori

Come risolvere un sistema di equazioni non lineari

Presto o tardi tutti noi ci troviamo a fare i conti con i sistemi di equazioni non lineari. I sistemi non lineari sono dei sistemi di equazioni che contengono delle incognite non lineari, ovvero che non possono essere espresse mediante somma e moltiplicazione...
Superiori

Come risolvere un sistema di primo grado col metodo di addizione e sottrazione

Gli alunni delle scuole superiori, si troveranno ben presto a dover fare i conti con le tanto odiate equazioni. In questa guida vedremo come risolvere un sistema di primo grado col cosiddetto metodo di addizione e sottrazione. Tramite questo procedimento,...
Superiori

Come calcolare il dominio di una funzione a due variabili

Una funzione a due variabili è una legge, definita f, che ad ogni coppia di numeri x e y, i quali costituiscono le variabili indipendenti, associa ad entrambi un numero z, vale a dire la variabile dipendente. Chiunque frequenti una facoltà scientifica...
Superiori

Come risolvere un sistema di equazioni a due incognite

All'interno di questa guida, andremo a parlare di matematica. Indubbiamente, essa è una materia che potrebbe risultare indigesta per qualcuno. Entrando nel dettaglio, andremo a parlare di equazioni con due incognite. Proveremo a fornire una risposta...
Superiori

Come calcolare il differenziale di una funzione a due variabili

La parte della matematica che riguarda il calcolo integro-differenziale è forse la più ostica, perché apre improvvisamente ad un mondo no più fatto di relazioni e formule semplici, ma molto libero, specie per quanto riguarda gli spazi di calcolo....
Superiori

Come calcolare il gradiente di una funzione a due variabili

La branca del calcolo differenziale è quella che maggiormente preoccupa gli studenti ma non è in realtà molto difficile una volta carpiti i meccanismi. Il calcolo con le derivate è piuttosto semplice perché quasi completamente meccanico, ma può...
Superiori

Come risolvere i sistemi lineari con parametro

Per sistema di equazioni si intende un sistema di due o più equazioni per le quali cerchiamo delle soluzioni comuni. Per indicare il sistema si incolonnano le varie equazioni e si raccordano con l'utilizzo di una parentesi graffa. Risolvere un sistema...