Come risolvere un limite nella forma indeterminata 1^infinito, 0^0 e infinito^0

Tramite: O2O 04/02/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

Purtroppo la matematica rappresenta una disciplina assai ostica per una parte non indifferente degli studenti. Esistono, infatti, delle funzioni matematiche non per niente semplici, ed una di queste è il caso dei limiti, il cui risultato si trova sotto forma indeterminata. Le forme indeterminate più fastidiose da risolvere sono quelle che andremo ad elencare a seguire. Innanzitutto, annoveriamo il 1^INFINITO, lo 0^0 e I'INFINITO^0. Questa tipologia di limite si risolve elevando completamente alla "e" (il cosiddetto numero di Nepero) il suo logaritmo. In prativa si procede elevando "e" al logaritmo di quel limite. In questa semplice ed esauriente guida, tramite tre esempi di esercizi guidati, vi forniremo un valido modello di svolgimento di questo genere di limite, molto "gettonato" negli esami universitari. Vediamo, quindi, come procedere.

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Occorrente
  • Dimestichezza con i limiti in generale.
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Per prima cosa, andremo ad analizzare un esercizio che a prima vista può apparire più complicato rispetto a quello che è. L'esercizio in questione consiste nel risolvere il seguente limite: lim per x--> infinito di (1/(x 2)^(1/(log (x 2) 3). Vediamo, ora, la risoluzione. Il limite si presenta nella forma 0^0. In questo caso, pertanto, occorre trasformare il limite in un esponenziale di base "e", ottenendo: e^(lim per x--> infinito di 1/(log (x 2) 3) log (1/x 2). Successivamente occorre, pertanto, andare a calcolare il limite dell'esponente di "e", che si presenta nella forma indeterminata infinito/infinito. Risolvendo semplicemente il limite con l'utilizzo del confronto tra infiniti, si ottiene che questo equivale a -1. Per concludere, si ottiene che: e^(-1)= 1/e, che è proprio la soluzione del limite di cui volevamo conoscere il risultato.

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Vediamo, a seguire, il secondo esercizio di questa semplice guida. Nell'esercizio in questione si deve andare a calcolare il seguente limite: lim per x--> infinito di (3 x)^(5/log (x 2). Vediamo, pertanto, la risoluzione del problema. Il limite si presenta nella forma indeterminata: infinito^0. Agendo come abbiamo fatto nell'esempio precedente, si ha che: lim per x--> infinito di (3 x)^(5/log (x 2) = e^(lim per x--> inf di (5/log (x 2) log (3 x). Calcolando il limite dell'esponente separatamente in modo tale da ottenere due limiti facilmente risolvibili, si andrà a verificare semplicemente che questo è uguale a 5. La soluzione, pertanto è: e^5.

Continua la lettura
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Per concludere, andiamo a trovare la soluzione dell'ultimo esercizio di questo tutorial. In questo caso si deve determinare il seguente limite: lim per x--> infinito di (x-5)/(x-4)^2x. Anche in questo esempio, la risoluzione non è affatto qualcosa di proibitivo. Il limite si presenta nella forma indeterminata 1^infinito. Ricordandoci l'esistenza dei limiti notevoli e della loro grande utilità, considerando come limite notevole quello relativo alla funzione (1 a/x)^x ed applicandolo al nostro caso, si ha che: lim per x--> infinito di (x-5)/(x-4)^2x= lim per x--> inf di (1 1/(4-x)^2x. Da qui segue che questo equivale a: lim per x--> inf di (1 1/(4-x)^(4-x)^2x/(4-x)= 1/e^2. È necessario ricordarsi sempre che per risolvere i limiti, in generale e sopratutto questa tipologia, è necessario non soltanto conoscere la classica formuletta a memoria ma anche effettuare tanto esercizio, in modo tale da affinare quello che in gergo viene definito il "colpo d'occhio". Questo, infatti, garantirà allo studente di ottenere la risoluzione di tutti i propri problemi matematici con estrema facilità.

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